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raggio spettrale

di Alfio Quarteroni - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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raggio spettrale

Alfio Quarteroni

Si consideri una matrice quadrata A∈ℂn×n e siano λi(A)∈ℂ i suoi autovalori. Ricordiamo che λ è un autovalore di A se esiste un vettore non nullo x∈ℂn tale che Ax=λx; x è a sua volta detto autovettore associato a λ. Si definisce raggio spettrale di A il numero reale positivo

formula

Esso rappresenta il raggio della più piccola circonferenza del piano complesso centrata nell’origine al cui interno giace lo spettro (ossia l’insieme degli autovalori) della matrice A. L’analisi del raggio spettrale di una matrice entra in gioco nello studio della convergenza dei metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Infatti, dato un sistema lineare quadrato Ax=b, x,b∈ℂn un metodo iterativo per la sua risoluzione può essere formulato come x(k+1)=Bx(k)+g, per k≥1 con x(0) dato, a patto che la matrice di iterazione B e il vettore g∈ℂn soddisfino la relazione di consistenza g=(I−B)A−1b. Si può dimostrare che la successione x(k) converge alla soluzione x del sistema lineare Ax=b, per ogni scelta del dato iniziale x(0), se e solo se ϱ(B)〈1. In particolare un metodo iterativo converge tanto più velocemente quanto più ϱ(B) è prossimo a zero. Per misurare quanto un metodo iterativo converge velocemente alla soluzione del sistema lineare si può utilizzare la quantità R(B)=−log ϱ(B), detta velocità di convergenza.

→ Computazionali, metodi

Vedi anche
autovettore In matematica, a. di una trasformazione lineare T è un vettore A la cui direzione non varia per l’applicazione di T: cioè TA=kA, con k grandezza scalare, autovalore (➔) della trasformazione. bicondizionale In logica matematica, la connessione p ↔ q di due enunciati p e q, che è vera se e solo se essi sono entrambi veri o entrambi falsi. numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ... grandezza fisica G. fisica Qualsiasi ente suscettibile di una precisa definizione quantitativa, quindi di misurazione, che viene introdotto allo scopo di consentire una descrizione quantitativamente precisa di fenomeni fisici e la traduzione in equazioni matematiche di problemi della fisica. G. dimensionata è ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • MATRICE QUADRATA
  • ALFIO QUARTERONI
  • METODO ITERATIVO
  • PIANO COMPLESSO
  • SISTEMI LINEARI
Altri risultati per raggio spettrale
  • raggio spettrale
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    raggio spettrale di una matrice quadrata reale o complessa M con autovalori λ1, ..., λm è il massimo ρ(M) dei moduli dei suoi autovalori: Più in generale, può essere definito lo spettro per operatori lineari limitati su spazi di Hilbert reali o complessi come l’estremo superiore dei moduli degli elementi ...
Vocabolario
spettrale
spettrale agg. [der. di spettro]. – 1. Che ha le caratteristiche, l’apparenza di uno spettro, che è simile a uno spettro: a un tratto un rumor di passi, l’apparizione d’una figura disfatta, spettrale (De Roberto); avere un aspetto s., essere...
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raggio ràggio s. m. [lat. radius, in origine «bacchetta appuntita», poi «raggio luminoso; raggio d’una ruota (perché irradia dal centro come i raggi dalla sorgente di luce); raggio d’una circonferenza», ecc.]. – 1. a. Emanazione di luce...
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