random walk

random walk

random walk o passeggiata aleatoria o cammino dell’ubriaco, processo stocastico a parametro discreto, nel quale si ipotizza che una variabile casuale (o aleatoria) X_t descriva la posizione assunta al tempo t da un punto in movimento. Inizialmente, il punto si trova nella posizione 0, cioè X₀ = 0. Al tempo t = 1 il punto compie un salto o in avanti, e raggiunge la posizione 1 con probabilità 1/2, o all’indietro, e raggiunge la posizione −1 con probabilità 1/2. Al tempo t = 2 fa ancora un salto in avanti con probabilità 1/2, oppure all’indietro con probabilità 1/2. La probabilità di andare avanti o indietro ai diversi tempi rimane costante e non dipende dai risultati precedenti. In generale questo processo stocastico può essere rappresentato nella forma

dove Z_t è il salto al tempo t ed è quindi una variabile aleatoria che assume i valori +1 o −1 con probabilità P(Z_t = 1) = P(Z_t = −1) = 1/2, (t = 1, 2, ...). I valori della variabile X_t (cioè le possibili posizioni del punto al periodo t) sono gli stati del processo e l’insieme dei possibili stati costituisce lo spazio degli stati. La successione delle osservazioni costituisce la traiettoria del processo e, per esempio, (0, 1, 2, 1, 2, 3, ...) è una possibile traiettoria di tale passeggiata aleatoria (→ processo stocastico). La distribuzione della variabile X_t può essere simulata con una tavola di → Galton e, all’aumentare di t, essa tende ad avere distribuzione normale. Esempi fisici di random walk (talvolta pittorescamente descritta come camminata dell’ubriaco) sono i cosiddetti moti browniani, descritti dal naturalista inglese Robert Brown (1773-1858), che osservò il comportamento casuale di corpuscoli, quali per esempio dei granelli di polline, in un liquido e indirizzò quindi la fisica a non considerare soltanto fenomeni di tipo deterministico. Anche le collisioni delle molecole di un gas rappresentano un processo di random walk che dà luogo al fenomeno della diffusione. Il modello random walk trova applicazione anche in campo economico, nello studio dell’andamento dei prezzi, la cui fluttuazione temporale assume le caratteristiche di una passeggiata casuale. In base a questo modello vi è uguale probabilità che la variazione nel tempo sia positiva o negativa: una previsione il più possibile attendibile del prezzo all’istante successivo può essere fatta solo in base al prezzo corrente poiché, dato che l’andamento non è regolare, i movimenti fatti registrare nel passato non danno indicazioni valide per le previsioni future.