rapporto semplice di tre punti allineati

rapporto semplice di tre punti allineati

rapporto semplice di tre punti allineati in geometria, dati tre punti allineati A, B, C di uno spazio affine, è il numero ± AC /BC, ossia il rapporto delle due distanze AC e BC, preso con segno positivo se C è esterno al segmento AB, negativo altrimenti; è indicato con (ABC). Se C coincide con A tale rapporto è nullo, se invece C coincide con B il rapporto semplice è infinito. Se C è il punto medio di AB allora (ABC) = −1. Il rapporto semplice di tre punti allineati è l’invariante numerico di una → affinità, nel senso che dati tre punti allineati A, B, C e i loro corrispondenti A′, B′, C′ in una tale trasformazione risulta (A′B′C′ ) = (ABC). Se A e B sono due punti fissati (punti fondamentali) il numero (ABC) è detto coordinata baricentrica di C. Indicando con a, b, x le ascisse dei tre punti A, B, C in un medesimo sistema di ascisse, e detto k il loro rapporto (ABC), si ha:

da cui x(1 − k) = a − kb, e quindi, se k ≠ 1, allora

Tale formula permette di individuare il punto C che con i punti dati A, B forma un rapporto semplice assegnato (ABC).