RAPPRESENTAZIONE

RAPPRESENTAZIONE

. Matematica. - Nell'algebra moderna, la parola rappresentazione ha un significato molto lato, ed è sinonimo della parola omomorfismo (v. algebra; applicazione; gruppo, in questa App.). Pertanto si potrà, per es., indifferentemente parlare di omomorfismo di un gruppo G in un gruppo G′, o di r. di G in G′; di omomorfismo, o di r., di un anello in un anello, o in generale di un insieme dotato di una struttura algebrica in un insieme dotato di una struttura algebrica omologa (v. struttura, in questa App.). Ma, in senso più specifico, la parola r. sta ad indicare un omomorfismo di un gruppo (o di un anello, ecc.) in un gruppo (o un anello, ecc.) costituente un modello di tipo particolare; tale modello è generalmente un gruppo (o un anello) di trasformazioni di un dato insieme in sé. Una r. si dirà vera quando l'omomorfismo in cui essa consiste è addirittura un isomorfismo. Hanno particolare importanza: a) le r. di un gruppo nel gruppo delle trasformazioni biunivoche di un insieme in sé; b) le r. di un gruppo nel gruppo delle sostituzioni lineari invertibili su un certo insieme di indeterminate, a coefficienti in un dato corpo commutativo K; c) le r. di un anello nell'anello delle sostituzioni lineari su un certo insieme di indeterminate, a coefficienti in un dato corpo commutativo K.

Per le r. di tipo a) di un dato gruppo G, si procede come segue. Si prende un sottogruppo H di G, e si considera l'insieme I dei laterali destri (o sinistri) Hg_i di H in G (v. gruppo, in questa App.). Il prodotto di un laterale Hg_i per un dato elemento g di G è ancora un laterale Hg_ig di G (in generale distinto da Hg_i); quindi moltiplicando i varî laterali per un elemento fisso g di G si ottiene una trasformazione, che si vede essere necessariamente biunivoca, dell'insieme I in sé. È noto che le trasformazioni biunivoche di un insieme in sé formano un gruppo (se si definisce il prodotto di due trasformazioni in senso operativo, v. gruppo, XVII, p. 1012) e pertanto nel modo anzidetto si viene ad ottenere un'applicazione di G nel gruppo Γ delle trasformazioni biunivoche di I in sé. Tale applicazione è un omomorfismo, e quindi fornisce una r. di tipo a). Scegliendo H in tutti i modi possibili, si ottengono tutte le possibili r. di tipo a) di G salvo cambiamento di nome agli elementi dell'insieme. La r. così ottenuta risulta vera quando l'intersezione di tutti i coniugati ad H è il sottogruppo unità: in particolare ciò avviene se H stesso è il sottogruppo unità. Pertanto ogni gruppo è isomorfo ad un gruppo di trasformazioni biunivoche di un insieme in sé.

Per illustrare i tipi di r. di cui in b) e in c), ci limiteremo, per semplicità, nel caso b), ai gruppi finiti, e nel caso c), alle algebre (v. algebra, in questa App.).

Sia K un corpo commutativo, o campo, che supporremo, per semplicità, algebricamente chiuso (per es. il campo complesso), e siano x_i, x₂, ..., x_n indeterminate. Si consideri l'insieme M delle n espressioni formali del tipo k₁x₁ + k₂x₂ + k_nx_n, che diremo combinazioni lineari delle x_i a coefficienti in K: Converremo poi, nell'espressione k₁x₁ + .. + k_nx_n, di omettere l'addendo k_ix_i quando k_i è lo zero di K, e di scrivere x_i in luogo di k_ix_i quando k_i = 1. In tal modo x₁, ..., x_n vengono ad essere anch'esse particolari combinazioni lineari. In M si può definire un'operazione di somma nel modo seguente:

Si può anche definire un'operazione di prodotto di un elemento k di K per un elemento k₁x₁ + ... + k_nx_n nel modo seguente;

Diremo sostituzione lineare una trasformazione univoca T di M in sé che conserva dette operazioni, cioè tale che, se m₁ e m₂ sono elementi di M, si abbia T(m₁ + m₂) = T(m₁) + T(m₂), e se m è un elemento di M e k un elemento di K, si abbia T(km) = kT(m).

Se T₁ e T₂ sono sostituzioni lineari, diremo somma T₁ + T₂, di esse, la trasformazione così definita: se m è un elemento di M, si abbia (T₁ + T₂) (m) = T₁(m) + T₂(m). Diremo prodotto di T₁ e T₂ la trasformazione così definita: se m è un elemento di M, si abbia (T₁T₂) (m) = T₂(T₁(m)).

La somma e il prodotto di due sostituzioni lineari è ancora una sostituzione lineare, e, rispetto a tali operazioni, l'insieme H di tutte le sostituzioni lineari su M è un'algebra sopra K, mentre, rispetto all'operazione di prodotto, l'insieme P di tutte le sostituzioni lineari che danno luogo a trasformazioni biunivoche è un gruppo.

Le r. di tipo b) - rispettivamente di tipo c) - relative alle indeterminate x₁, .., x_n di un dato gruppo finito - di una data algebra A - sono gli omomorfismi di G in Γ - rispettivamente di A in H -.

Una sostituzione lineare T porta x₁,x₂, ..., x_n in certe combinazioni lineari

Possiamo quindi far corrispondere a T la matrice ∥ a_ij ∥ (i = 1, ..., n; j = 1, .., n) da cui essa è pienamente determinata. Alla somma e al prodotto di due sostituzioni lineari corrispondono rispettivamente la somma e il prodotto delle relative matrici. Inoltre T è biunivoca quando e solo quando la matrice ∥ a_ij ∥ è non degenere, onde H è isomorfa all'algebra delle matrici quadrate d'ordine n ad elementi in K, e Γ al gruppo delle matrici quadrate d'ordine n non degeneri ad elementi in K.

Data una r. ϕ di un gruppo finito G nel gruppo delle sostituzioni lineari biunivoche su n indeterminate a coefficienti nel campo K, si dice carattere della ϕ la funzione χ (g) definita in G e con valori n in K che associa ad ogni elemento g di G la traccia

della ∥ a_ij (g) ∥ (relativa alla sostituzione lineare corrispondente a g.

Ogni r. di un dato gruppo finito G come gruppo di sostituzioni lineari, in un qualunque numero di variabili, a coefficienti in K, si può ottenere componendo in modo opportuno certe particolari r., dette r. irriducibili. Il numero di queste ultime uguaglia quello delle classi complete di elementi coniugati di G. I caratteri delle r. irriducibili sono legati da notevoli relazioni aritmetiche, la cui conoscenza ha permesso di conseguire risultati abbastanza riposti sopra la struttura dei gruppi finiti: sulla base di esse, ad es., W. Burnside ha dimostrato che ogni gruppo d'ordine p^αq^β (p, q numeri primi) è risolubile (v. gruppo, XVII, p. 1012).

La teoria dei caratteri ha anche notevole importanza nelle applicazioni della teoria dei gruppi alla fisica teorica.

Bibl.: W. Burnside, Theory of groups of finite order, 2ª ed., Cambridge 1911; H. Boerner, Darstellung von Gruppen, Berlino 1955; B. L. Van der Waerden, Algebra, II, Berlino 1955; A. Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 4ª ed., Basilea 1956; M. Hall, The theory of groups, New York 1959.