RECIPROCITÀ

RECIPROCITÀ

. 1. Si dicono genericamente "teoremi di reciprocità" talune proposizioni, appartenenti a rami diversi della matematica, nelle quali vengono messe in luce proprietà simmetriche, di cui godono, l'uno rispetto all'altro, enti similari (aritmetici o geometrici o meccanici). Celebre è il teorema di reciprocità dei residui quadratici, intravvisto da Eulero e dimostrato in casi particolari da A.-M. Legendre, in generale da C. F. Gauss (v. aritmetica: Aritmetica superiore, n. 9); e un altro esempio è fornito dai teoremi di reciprocità (di cui il primo risale a E. Betti), che si incontrano nella teoria della elasticità (v. elasticità, nn. 9, 10).

2. In geometria proiettiva si chiamano reciprocità (J.-V. Poncelet, C. G. C. v. Staudt) o correlazioni (A. F. Möbius), e in Italia è, forse, più usato questo secondo nome, tutte le corrispondenze biunivoche fra i punti di un piano π e le rette di un secondo piano π′ tale che agli infiniti punti di una qualsiasi retta di π corrispondano su π′ le infinite rette passanti per un punto (fascio di rette). Resta così simultaneamente definita una corrispondenza biunivoca fra i punti di π′ e le rette di π (reciprocità inversa di quella intercedente fra π e π′).

Le reciprocità, insieme con le omografie o collineazioni, costituiscono il gruppo (misto) delle proiettività, che sta a fondamento della geometria proiettiva (v. geometria, nn. 23-30, 31; gruppo); ed ogni reciprocità realizza fra due piani una corrispondenza per dualità (v. dualità; trasformazione).

Se nel piano π si fissa un sistema di coordinate omogenee (proiettive) x₁:x₂:x₃ di punto, e in π′ un sistema di coordinate omogenee (proiettive) u₁′:u₂′:u₃′ di retta (v. coordinate, n. 23), ogni reciprocità è rappresentata da una sostituzione lineare, a modulo ∣a_rs∣ diverso da zero,

dove ρ denota un fattore indeterminato (non nullo) di proporzionalità. Se u₁:u₂:u₃ e x₁′:x₂′:x₃′ sono i sistemi di coordinate di retta e di punto, rispettivamente associati in π e π′ a quelli primitivamente prefissati, la reciprocità inversa della precedente è definita dalle equazioni

Una reciprocità fra due piani π e π′ sovrapposti si chiama polarità, quando sia involutoria, cioè coincida con la sua inversa; il che vuol dire che ad ogni singolo punto del sostegno comune ai due piani π e π′ deve corrispondere la medesima retta, sia che esso si consideri appartenente all'uno o all'altro piano. In una polarità, un qualsiasi punto e la retta corrispondente si dicono, l'uno rispetto all'altra, polo e polare, e vale il seguente teorema fondamentale (di reciprocità): Se la polare di un punto P passa per un punto Q, la polare di Q passa per P. E in tal caso si dicono coniugati tanto i due punti P e Q, quanto le rispettive polari. Può darsi che in una polarità esistano punti autoconiugati, cioè appartenenti alla rispettiva polare (che risulta, di conseguenza, anch'essa autoconiugata), e la polarità, in questa ipotesi, si chiama non uniforme. Il luogo dei punti autoconiugati (il quale è al tempo stesso l'inviluppo delle rette autoconiugate) è una conica, la quale, viceversa, basta da sola a definire la polaritȧ (v. coniche). Ogni polarità uniforme, cioè priva di punti autoconiugati, si può considerare come una polarità definita da una conica immaginaria (v. geometria, n. 27).

Analiticamente le polarità si possono caratterizzare come quelle reciprocità, che sono rappresentate da una sostituzione lineare (1) a modulo ∣a_rs∣ simmetrico (a_rs = a_sr).

In modo analogo a quello dianzi indicato per il piano, si definiscono le reciprocità fra spazî, come corrispondenze biunivoche fra i punti dell'uno e i piani dell'altro, tali che agli ∞² punti di ogni singolo piano corrispondano gli ∞² piani passanti per un punto. Ma nel caso di due spazî sovrapposti esistono due tipi di reciprocità involutorie: le polarità ordinarie, che definiscono ciascuna, come luogo dei punti autoconiugati (e inviluppo dei piani autoconiugati) una quadrica, reale o immaginaria (v. quadriche), e i sistemi nulli, in cui ogni punto è autoconiugato.

Una reciprocità fra spazî è definita analiticamente da una sostituzione lineare, a modulo diverso da zero, fra le coordinate omogenee (proiettive) planari dell'uno spazio e le analoghe coordinate puntuali dell'altro spazio. Nel caso di due spazî sovrapposti, una reciprocità è una polarità ordinaria sempre e solo quando il modulo della corrispondente sostituzione lineare è simmetrico (a_rs = a_sr), è un sistema nullo sempre e solo quando codesto modulo è emisimmetrico (a_rs = − a_sr, a_rr = 0).

3. Il concetto di reciprocità o correlazione si estende agli spazî (lineari) a quante si vogliano dimensioni (v. iperspazio). Se, come si è ammesso dianzi, si escludono le cosiddette reciprocità degeneri (cioè rappresentate da sostituzioni lineari a modulo nullo), negli spazî ad un numero pari 2n di dimensioni le reciprocità involutorie si riducono alle sole polarità ordinarie (rispetto a quadriche a 2 n−1 dimensioni), mentre negli iperspazî ad un numero dispari 2 n + 1 di dimensioni esistono polarità ordinarie e sistemi nulli. Alla classificazione proiettiva delle reciprocità fra iperspazî sovrapposti si perviene, come per le omografie, in base al teorema di C. Weierstrass sulla equivalenza delle coppie di forme bilineari, rispetto alle sostituzi0ni lineari sulle due serie di variabili da esse contenute (v. iperspazio, n. 6).