reductio ad absurdum

reductio ad absurdum

reductio ad absurdum (lat., «riduzione all’assurdo») tecnica dimostrativa, detta anche dimostrazione per assurdo, usata spesso in matematica; essa consiste nel dimostrare la validità di una certa affermazione mostrando che qualora essa venisse negata si arriverebbe a una contraddizione. Per esempio, per dimostrare che esistono infiniti numeri razionali compresi fra 0 e 1 si può applicare la reductio ad absurdum nel modo seguente:

1. si nega l’affermazione che si vuole dimostrare e quindi si suppone che i numeri razionali compresi fra 0 e 1 siano finiti; è possibile quindi elencarli ordinandoli in modo crescente: a₁, a₂, ..., a_n;

2. si ha quindi che a₁ è il minore numero razionale compreso fra 0 e 1;

3. tuttavia è possibile considerare a₁/2 il quale è ancora un numero razionale compreso fra 0 e 1 ed è minore di a₁, ma ciò è in contraddizione con quanto affermato al punto 2. Quindi la premessa iniziale, cioè che i numeri razionali compresi fra 0 e 1 siano finiti, porta a una contraddizione ed è dunque falsa.

In tal modo si è dimostrato che i numeri razionali compresi fra 0 e 1 sono infiniti.

Dal punto di vista logico la reductio ad absurdum può essere così sintetizzata: per dimostrare una formula A si dimostra che aggiungendo agli assiomi la formula ￢A (si legge «non A»), cioè la negazione di A, detta anche ipotesi assurda, si giunge a una contraddizione, cioè a una formula comunque falsa. Questo tipo di ragionamento si basa sul principio del → terzo escluso per cui se la formula ￢A non può essere vera perché porta a una contraddizione, allora deve essere necessariamente vera la formula A.

La reductio ad absurdum ha rivestito una notevole importanza nella storia della matematica. Essa fu utilizzata già da Euclide per dimostrare che esistono infiniti numeri primi e in seguito anche da G. Saccheri nei suoi studi sul quinto postulato di Euclide (→ geometria non euclidea). Con il metodo di riduzione all’assurdo si dimostra inoltre che √(2) è un numero irrazionale e che l’insieme dei numeri reali non è numerabile. La reductio ad absurdum è valida nella logica classica, in cui vige il principio del terzo escluso, ma è rifiutata in altri tipi di logica come per esempio la logica intuizionista in cui tale principio non viene assunto come valido quando si opera su insiemi infiniti. Per questo motivo l’intuizionismo rifiuta le dimostrazioni per assurdo a favore di dimostrazioni di tipo costruttivo volte a mostrare una costruzione dell’oggetto di cui si vuole affermare l’esistenza.