regolarizzazione
regolarizzazione
regolarizzazione procedimento usato per la risoluzione approssimata di certi problemi mal posti, espressi da un’equazione del tipo Ax = b, dove A è un operatore definito in un opportuno spazio topologico, per i quali piccole variazioni nel termine b o in eventuali parametri che compaiono nella definizione di A producono grandi variazioni nella soluzione. Un esempio di tali problemi, che sorgono numerosi in vari campi applicativi, si ha nel caso di sistemi di equazioni algebriche lineari con matrice dei coefficienti A malcondizionata, ossia tale che, indicando con ‖A‖ la sua norma, la quantità k(A) = ‖A‖⋅‖A−1‖ (detta indice di condizionamento) sia molto maggiore di 1. Il metodo di regolarizzazione consiste nella costruzione e risoluzione di un → problema ben posto, opportunamente collegato a quello assegnato, dipendente da un parametro e definito in un conveniente sottoinsieme dello spazio delle soluzioni. Esistono diverse tecniche per passare dal problema originario al problema regolarizzante; per esempio, nel caso di un sistema algebrico lineare, un problema cui si è ricondotti è del tipo (A′A + tI)x = A′b, la cui soluzione, xt, converge alla soluzione x per t → 0+. La scelta del valore da attribuire al parametro, in vista delle opposte esigenze di ottenere una buona approssimazione della soluzione del problema dato e di attenuare l’effetto delle perturbazioni nei dati, è effettuata mediante opportuni criteri di tipo euristico o analitico, in cui si tiene conto dell’entità degli errori che si presumono nei dati (si veda anche → algoritmo, stabilità di un).