equivalenza, relazione di
equivalenza, relazione di
equivalenza, relazione di relazione che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Per esempio, nell’insieme delle rette dello spazio, la relazione «essere parallele» è una relazione di equivalenza (riflessività: si deve considerare ogni retta parallela a sé stessa; simmetria: se r è parallela a s allora s è parallela a r; transitività: se r è parallela a s e s è parallela a t allora r è parallela a t). L’insieme delle rette, con tale relazione, si viene a ripartire in tanti sottoinsiemi, ognuno formato soltanto da rette tra loro parallele: tali sottoinsiemi definiscono un nuovo concetto, quello delle direzioni (→ direzione).
Una relazione di equivalenza definita su un insieme ne determina una partizione: l’insieme risulta cioè ripartito in classi esaustive (ogni elemento dell’insieme appartiene a qualche classe) e disgiunte (le diverse classi non hanno elementi in comune). Se su un insieme A è definita una relazione di equivalenza ~ e se a è un elemento di A, si definisce la classe di equivalenza di a come il sottoinsieme di A (talvolta indicato con il simbolo [a]) costituito da tutti gli elementi di A che sono in relazione con a: dunque la classe di equivalenza di a coincide con il sottoinsieme
L’insieme delle classi di equivalenza di A rispetto a ~ costituisce una partizione di A, detta partizione associata a ~: come insieme, esso è detto insieme delle classi di equivalenza o insieme quoziente di A rispetto a ~ ed è indicato con il simbolo A/~. L’insieme quoziente A/~ è accompagnato da un’applicazione naturale π: A → A/~, detta proiezione canonica al quoziente e definita da π(a) = [a]: essa è la mappa che associa a ogni elemento di A la sua classe di equivalenza, vale a dire l’insieme degli elementi di A a esso equivalenti rispetto a ~; il procedimento che permette di passare da A all’insieme quoziente A/~ va sotto il nome di passaggio al quoziente. Tale procedimento è collegato a un processo di astrazione, che consiste nel prescindere dalle differenze tra gli elementi entro le classi e nel concepire le classi stesse come individui. Tale procedimento formalizza meccanismi tipici del pensiero umano, che permettono di passare dalla considerazione di un individuo particolare alla considerazione di una particolare classe cui esso appartiene. Se per esempio si considera la relazione di equivalenza, definita sull’insieme degli esseri viventi, secondo la quale due individui sono in relazione se e solo se essi appartengono alla stessa specie, allora l’insieme quoziente rispetto a tale relazione è l’insieme delle specie. Restando in ambito matematico, un importante esempio di relazione di equivalenza è la congruenza tra numeri interi modulo un intero n: il relativo insieme quoziente è l’insieme Zn delle classi resto modulo n.