Caccioppoli, Renato

Renato Caccioppoli

Figura chiave nello sviluppo del pensiero matematico in Italia durante la prima parte del Novecento, le sue ricerche spaziano nei vari rami dell’analisi matematica, con contributi fondamentali soprattutto nel campo dell’analisi funzionale, della teoria geometrica della misura e della teoria delle equazioni differenziali. Dai lavori di Renato Caccioppoli presero l’avvio vari filoni di ricerca nel secondo Novecento. Le sue ricerche hanno contribuito a evitare l’isolamento dell’Italia nel campo dell’analisi matematica tra le due guerre mondiali e nel periodo immediatamente successivo.

La vita

Renato Caccioppoli nacque a Napoli il 20 gennaio del 1904 da Giuseppe e Sofia Bakunin, figlia del celebre rivoluzionario russo Michail Bakunin (1814-1876). Dopo aver conseguito la maturità classica, si iscrisse nel 1921 alla facoltà di Ingegneria per passare poi, nel 1923, al corso di studi in matematica. Qui si laureò nel 1925 con Ernesto Pascal (1865-1940), per divenire nello stesso anno assistente di Mauro Picone (1885-1977). Tre anni dopo ottenne la libera docenza in matematica e nel 1931 vinse la cattedra di analisi algebrica a Padova. Nel 1934 fu chiamato a Napoli sulla cattedra di teoria dei gruppi, passando poi a quella di analisi superiore e, nel 1943, a quella di analisi matematica.

Sempre legato strettamente a Picone, che dal 1932 si era trasferito a Roma anche alla direzione dell’Istituto nazionale per le applicazioni del calcolo, Caccioppoli a Napoli ebbe come allievi, tra gli altri, Gianfranco Cimmino, Carlo Miranda e Giuseppe Scorza Dragoni. L’influenza delle sue ricerche andò ben oltre l’ambiente napoletano.

Numerosi furono i riconoscimenti conferitigli: fu socio corrispondente dell’Accademia nazionale dei Lincei dal 1947 e socio nazionale dal 1958, nonché socio ordinario dell’Accademia pontaniana dal 1944; ricevette inoltre, nel 1953, il Premio nazionale di scienze fisiche, matematiche e naturali dell’Accademia dei Lincei.

La produzione scientifica di Caccioppoli presenta una distinzione netta in diversi periodi: una prima fase, di notevole intensità, tra il 1926 e il 1940, e una seconda fase relativa alla prima parte degli anni Cinquanta. Ciò è legato alla sua personalità molto ricca e piena di sfumature, con interessi rivolti anche ad altre forme espressive, in modo particolare alla musica. Caccioppoli, inoltre, mostrò in genere molta attenzione a questioni di natura sociale e politica. Nel periodo tra le due guerre si collocano alcune sue chiare forme di insofferenza al regime fascista, già a partire dagli anni trascorsi a Padova e poi con maggior rilievo al ritorno a Napoli. Ciò si riflesse anche in alcuni atti pubblici che in un caso, nel 1938, spinsero la famiglia – e in particolare la zia, Maria Bakunin, che insegnava chimica all’Università di Napoli – a favorire, al fine di evitargli il carcere, il suo ricovero presso una casa di cura per un breve periodo.

La sua partecipazione alle questioni di carattere sociale e politico fu molto intensa dopo la caduta del fascismo. In particolare, prese parte in modo attivo alla campagna referendaria sulla Repubblica, essendo negli anni del dopoguerra su posizioni molto vicine a quelle del Partito comunista, al quale comunque non aderì mai formalmente.

Caccioppoli morì suicida l’8 maggio del 1959 per il probabile concorrere di ragioni di carattere personale e sociale. In occasione della sua scomparsa, poiché non amava le celebrazioni, furono pubblicati solo alcuni brevi necrologi di alcuni suoi allievi. Numerose iniziative in suo onore sono state invece realizzate a distanza di qualche decennio, con l’organizzazione di convegni e la produzione di varie pubblicazioni riguardanti la sua attività scientifica e intellettuale.

Le ricerche iniziali sui funzionali

Nel contesto della produzione scientifica di Caccioppoli, sotto l’impulso iniziale di Picone, un primo rilevante gruppo di lavori riguarda in particolare la teoria dei funzionali. Si tratta di un ambito di ricerca che ha origine in primo luogo nella matematica italiana postunitaria, in quanto l’idea stessa di ‘funzionale’ può essere fatta risalire alla teoria delle ‘funzioni di linea’ di Vito Volterra, e che trovò poi un largo sviluppo, in un senso più astratto, soprattutto con le ricerche in Francia di Maurice-René Fréchet (1878-1973), a partire dal primo decennio del Novecento.

I lavori iniziali di Caccioppoli sui funzionali si inseriscono da subito in questo contesto, con vari riferimenti in primo luogo alle opere di Fréchet e di Paul Lévy (1886-1971). Più in particolare, il tema chiave di questi primi lavori è costituito dall’estensione del noto teorema di Frigyes Riesz (1880-1956) sulla rappresentazione dei funzionali lineari a vari casi generali, a partire dallo studio dei funzionali dipendenti da una funzione di più variabili (Opere, 1° vol., Funzioni di variabili reali ed applicazioni, 1963, pp. 1-7). Prendendo poi spunto da alcuni risultati di Fréchet sui funzionali dipendenti linearmente da due funzioni di una variabile, tali estensioni furono svolte da Caccioppoli per varie classi di funzionali, tra cui quelli multilineari e quelli omogenei (Opere, 1° vol., cit., pp. 18-23, 29-35). Questi argomenti risultano connessi alla nozione di ‘prolungamento’ di un funzionale, in relazione all’estensione dell’insieme di definizione del funzionale dall’insieme delle funzioni continue a uno più generale.

In stretta relazione con queste tematiche, si situano negli anni immediatamente seguenti alcuni lavori di Caccioppoli sulla teoria dell’integrazione, che viene affrontata collegando la definizione di integrale al prolungamento di funzionali nell’insieme delle funzioni discontinue (in partic. Opere, 1° vol., cit., pp. 54- 89). Ciò lo condusse, tra l’altro, all’introduzione di alcune rilevanti nozioni nell’ambito della moderna analisi reale, quali quella di successione di funzioni uniformemente sommabili (Opere, 1° vol., cit., pp. 161-67).

La teoria geometrica della misura

Sempre verso la fine degli anni Venti si collocano le prime ricerche di Caccioppoli sulla teoria geometrica della misura, che avranno poi una seconda fase nella prima parte degli anni Cinquanta. La questione fondamentale al riguardo è costituita dal problema della quadratura delle superfici, cioè dal modo in cui definire la nozione di area nel caso delle superfici. Alla base di questo problema si ha la considerazione, a partire dagli anni Ottanta dell’Ottocento, del cosiddetto paradosso di Schwarz-Peano riguardante la difficoltà di introdurre tale nozione in termini di approssimazioni semplici mediante l’uso di superfici poliedriche. Una prima trattazione della questione fu fornita da Henri-Léon Lebesgue (1875-1941) con un perfezionamento di carattere analitico della definizione di area in termini di approssimazione, all’interno del suo approccio generale alla teoria della misura e dell’integrazione. D’altra parte, nell’opera dello stesso Giuseppe Peano è presente l’abbozzo di un diverso approccio all’idea di area di una superficie, basato su un’analogia di fondo con la questione della rettificazione di una curva.

In questo quadro, il modo in cui Caccioppoli trattò la questione della quadratura delle superfici tende a caratterizzarsi come un’estensione dell’approccio di Peano. In particolare, egli diede una definizione di area in tal senso (Opere, 1° vol., cit., pp. 43-48, 49-53, 117-24), associando, in ultima analisi, a ogni porzione di superficie un ‘elemento d’area’ ottenuto a partire dalla proiezione sui piani coordinati della porzione. Va notato che questi lavori di Caccioppoli mostrano anche analogie con alcune considerazioni di poco precedenti di Giuseppe Vitali (1875-1932) e Stefan Banach (1892-1945), ma presentando, rispetto a queste ricerche, una considerazione esplicita, accanto all’idea di estensione, della nozione di orientazione di un elemento di area (in partic. Opere, 1° vol, cit., pp. 191-244). In questi lavori, inoltre, viene considerato, anche se non affrontato in modo diretto, il confronto con la definizione di area di una superficie data da Lebesgue.

Dopo alcuni sviluppi della teoria avutisi sia in Italia, soprattutto con Lamberto Cesari (1910-1990), sia all’estero con le ricerche, tra gli altri, di Tibor Radó (1895-1965), Caccioppoli tornò a occuparsi della teoria geometrica della misura in modo sistematico durante gli anni Cinquanta. Ciò avvenne a partire da una conferenza tenuta a Taormina nel 1951 al IV Congresso dell’UMI (Unione Matematica Italiana; cfr. Opere, 1° vol., cit., pp. 349-57) e con una serie di note lincee immediatamente successive (Opere, 1° vol., cit., pp. 358-80, 381-408).

In questo contesto, in connessione con le ricerche della prima fase, furono considerati in particolare alcuni insiemi, in senso generalizzato di perimetro finito, che qualche anno dopo, successivamente alla sua morte, vennero indicati e sono tuttora noti come insiemi di Caccioppoli. C’è da notare che questi ultimi lavori di Caccioppoli sulla teoria geometrica della misura furono inizialmente oggetto di critiche in alcune recensioni comparse in «Mathematical reviews». D’altra parte, essi risultarono alla base di alcune importanti ricerche di poco successive di Ennio De Giorgi, un altro allievo di Picone, che ne facilitarono al contempo la loro considerazione complessiva.

I teoremi di punto fisso

Oltre ai primi lavori sulla teoria dei funzionali, lo stretto legame tra l’opera di Caccioppoli e le tematiche dell’analisi funzionale riguarda la considerazione dei teoremi di punto fisso e di alcune estensioni di natura funzionale sviluppate nella prima metà degli anni Trenta. Da un punto di vista storico, tale questione trova origine nel celebre teorema ottenuto da Luitzen E.J. Brouwer (1881-1966) nel 1912 e riguardante l’esistenza di un punto unito di una funzione continua definita da un sottoinsieme convesso, chiuso e limitato dello spazio euclideo a n dimensioni in sé. Tale teorema ricevette poi, nei due decenni seguenti, una serie di estensioni, in primo luogo nel 1922 per opera di George D. Birkhoff (1884-1944) e Oliver D. Kellogg (1878-1932), con la considerazione di alcune prime tipologie di spazi funzionali; e poi, a partire dal 1927, da parte di Juliusz Paweł Schauder (1899-1943), nel caso generale di uno spazio di Banach.

In questo contesto, Caccioppoli in un lavoro del 1930 (Opere, 2° vol., Funzioni di variabili complesse. Equazioni funzionali, 1963, pp. 23-29) ottenne in modo indipendente una generalizzazione del teorema di Brouwer in casi simili a quelli considerati da Birkhoff e Kellogg; ciò diede subito luogo a una questione di priorità. Nella parte finale di questa stessa nota è inoltre presente una versione del teorema delle contrazioni di Banach, la cui formulazione originaria risale al 1922. Fin dall’inizio di queste ricerche di Caccioppoli appare chiara la questione dell’applicazione del teorema di punto fisso alla trattazione di vari problemi di carattere esistenziale nel caso di equazioni sia integrali sia differenziali. In particolare, in una nota del 1931 (Opere, 2° vol., cit., pp. 34-38), oltre a chiarire le questioni di priorità emerse, è presente una discussione sull’importanza delle tecniche di punto fisso in relazione allo studio di diversi problemi ai limiti.

Il principio di inversione e le sue applicazioni

Il punto di partenza delle ricerche successive di Caccioppoli in analisi funzionale riguarda proprio la considerazione dei limiti che il teorema di Brouwer presenta dal punto di vista delle applicazioni, in primo luogo per il fatto di costituire un teorema di esistenza e non di unicità. Su queste basi Caccioppoli giunse all’inizio degli anni Trenta alla considerazione di un tipo di trasformazione funzionale più generale e alla deduzione di un relativo principio di inversione, che estendeva un risultato ottenuto da Jacques Hadamard (1865-1963) nel 1906 nel caso dello spazio euclideo a n dimensioni, ripreso poi da Lévy nel 1920. Questo importante risultato di Caccioppoli è presente in una memoria del 1932 (Opere, 2° vol., cit., pp. 39-52), in gran parte dedicata poi alla sua applicazione allo studio di equazioni integrali non lineari. D’altra parte, diverse sue ricerche degli anni successivi riguardano l’uso del principio di inversione nella trattazione di varie questioni riguardanti la teoria delle equazioni differenziali e, in modo particolare, le equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico (Opere, 2° vol., cit., pp. 56-68, 79-83, 98-105).

Si situano in questo ambito alcuni dei risultati più rilevanti ottenuti da Caccioppoli, anche in relazione allo studio delle condizioni per poter applicare tale principio. In particolare, in questo contesto egli giunse  alla determinazione di alcune maggiorazioni a priori per le soluzioni di equazioni ellittiche, estendendo alcune basilari ricerche svolte a inizio Novecento dal matematico russo Sergej N. Bernstein (1880-1968). In relazione a queste tematiche, in una memoria di Caccioppoli del 1935 (Opere, 2° vol., cit., pp. 146-56) viene inoltre dimostrata l’analiticità delle soluzioni di equazioni analitiche di tipo ellittico in due variabili, dotate di derivate seconde continue. Questo risultato, riguardante uno dei celebri problemi, il XIX, enunciati da David Hilbert (1862-1943) nel 1900 al Congresso internazionale dei matematici di Parigi, fu esteso in seguito in modo particolare da De Giorgi, giungendo tra il 1956 e il 1957 alla soluzione definitiva di tale problema.

La considerazione del proprio principio generale di inversione è alla base di varie ricerche successive di Caccioppoli nella seconda metà degli anni Trenta, di carattere sia teorico (Opere, 2° vol., cit., pp. 157-69) sia applicativo. È in particolare del 1940 una memoria in cui egli utilizzò tale principio nella risoluzione di una rilevante questione nel campo della geometria differenziale, trattata inizialmente da Hermann Weyl (1885-1955) in un lavoro del 1916 e riguardante l’esistenza di una superficie chiusa e convessa dello spazio ordinario (ovaloide), di cui si suppone assegnata la metrica (Opere, 2° vol., cit., pp. 192-209).

Rientrano, d’altra parte, in questo periodo anche alcuni lavori di Caccioppoli in cui, in questo caso facendo uso del teorema di Hahn-Banach, egli giunse a provare l’esistenza degli integrali abeliani di prima, seconda e terza specie su una superficie di Riemann chiusa (Opere, 2° vol., cit., pp. 106-12, 178-91). Si deve notare che in questo ambito è presente un importante risultato relativo alla proprietà di armonicità di una determinata classe di funzioni, che fu poi riottenuto nel 1940 da Weyl e da allora divenne noto come lemma di Weyl.

Caccioppoli e l’analisi complessa

Nell’ambito complessivo della sua produzione scientifica, Caccioppoli si occupò a varie riprese di analisi complessa, contribuendo anche in questo caso in modo rilevante allo sviluppo della teoria.

Oltre ad alcuni lavori riguardanti la teoria dei funzionali analitici di Luigi Fantappié (1901-1956) e le funzioni definite da integrali doppi di Cauchy, i contributi più rilevanti di Caccioppoli in questo campo durante gli anni Trenta sono relativi alla teoria delle funzioni di più variabili complesse. Dopo una prima fase di sviluppo a partire dalla fine dell’Ottocento, caratterizzata da vari risultati miranti all’estensione delle proprietà delle funzioni di una variabile, tale teoria presenta durante il primo decennio del Novecento un’inversione di tendenza con le ricerche del matematico tedesco Friedrich Hartogs (1874-1943); a questi si devono infatti alcuni primi risultati tendenti a evidenziare la peculiarità del caso di più variabili complesse, a cui si devono aggiungere quelli ottenuti in Italia, negli anni immediatamente successivi, da Eugenio Elia Levi (1883-1917) sui domini di olomorfia.

I contributi di Caccioppoli si inseriscono negli sviluppi di queste ricerche, durante gli anni Trenta, in modo particolare in Francia e in Germania. Tali contributi riguardano, tra l’altro, alcune questioni relative al prolungamento analitico delle funzioni di due variabili (Opere, 2° vol., cit., pp. 143-45) e l’estensione del celebre teorema di Hartogs al caso delle funzioni meromorfe (Opere, 2° vol., cit., pp. 84-87, 113-17). In un altro di questi lavori sono presenti anche alcune considerazioni sulle ‘famiglie normali’ di funzioni di più variabili complesse, considerate poi centrali negli sviluppi successivi della teoria (Opere, 2° vol., cit., pp. 88-97).

Una fase ulteriore delle ricerche di Caccioppoli in analisi complessa è relativa ad alcuni lavori degli anni Cinquanta nell’ambito della teoria delle funzioni di una variabile complessa, caratterizzati dall’introduzione dell’idea di funzione ‘pseudoanalitica’ in relazione alla possibilità di indebolire le condizioni espresse dalle equazioni di Cauchy-Riemann. Per questa nuova tipologia di funzioni, Caccioppoli mostrò, in particolare, la validità di una serie di proprietà che sussistono anche nel caso delle funzioni analitiche (in partic. Opere, 2° vol., cit., pp. 299-318).

Opere

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Bibliografia

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