residuo statistico (di regressione)
residuo statistico (di regressione)
Dato un modello di regressione lineare (➔ regressione parametrica, modelli e stime di) Yi=α+β1X1i+...βkXki+Ui, e le stime dei MQO di α,β1,...,βk, il r. di regressione è la differenza tra il valore osservato e il valore predetto dal modello, U^i=Yi−α^−β^1X1i−β^kXki. Se il modello di regressione contiene un’intercetta (➔ retta), i r. di regressione hanno per costruzione media nulla in quanto ΣiU^i=0. Inoltre, la covarianza campionaria tra U^i e ciascuno dei regressori è anch’essa nulla, ΣiXjiU^i=0. I r. costituiscono la base di una varietà di procedure statistiche. Per es., la stima della varianza (➔ covarianza) degli errori nel modello lineare classico è proporzionale alla somma dei quadrati dei residui. Questi ultimi costituiscono anche la base per le principali tecniche diagnostiche che hanno lo scopo di determinare quali aspetti dei dati (➔) non sono adeguatamente descritti dal modello e di individuare eventuali valori anomali o osservazioni con un elevato effetto di leva (➔ outlier). Tali tecniche possono essere di tipo esplorativo oppure possono basarsi su test (➔) formali. La validità dei metodi basati sui r. è tanto maggiore quanto più la distribuzione degli stessi costituisce una buona approssimazione a quella degli errori di regressione. Una certa cautela è comunque necessaria poiché ci sono in genere differenze rilevanti tra la distribuzione degli errori e quella dei r. di regressione. Per es., anche quando gli errori di regressione sono omoschedastici (➔ omoschedasticità) e incorrelati (➔), i r. sono sia eteroschedastici (➔ eteroschedasticità) sia correlati. Questo comporta qualche difficoltà nell’utilizzare i r. per verificare la validità delle assunzioni del modello. In particolare, le differenze tra la distribuzione degli errori di regressione e quella dei r. si accentuano in presenza di outlier. Allo scopo di eliminare i problemi dovuti alla presenza di eteroschedasticità, autocorrelazione o effetto di leva nei r., si utilizzano talvolta opportune trasformazioni dei r. stessi.