numero intero, scomposizione in fattori di un
numero intero, scomposizione in fattori di un o fattorizzazione di un numero intero, in algebra, determinazione dei k interi n1, ..., nk, diversi da 1 e [...] ’aritmetica, il quale stabilisce il fatto che l’anello dei numeri interi Z è un dominioafattorizzazioneunica.
Canonicamente, una fattorizzazione in numeri primi si effettua raccogliendo i fattori ripetuti ed esprimendoli sotto forma di potenza, in ...
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massimo comune divisore
massimo comune divisore (in simbolo mcd) tra due numeri interi a, b è il numero intero M che soddisfa le due seguenti proprietà:
• M divide a e b;
• se c è un intero che divide [...] D; non sempre però esso esiste. Se però D è un dominioafattorizzazioneunica, allora il massimo comune divisore tra due elementi dell’anello esiste sempre ed è unico, a meno di un fattore invertibile. Come nei casi precedenti, dati due elementi ...
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Gauss, interi di
Gauss, interi di numeri complessi della forma m + in, dove m e n sono numeri interi; gli interi di Gauss corrispondono al reticolato formato dai punti a coordinate intere nel piano di [...] + im è un numero complesso, allora ‖z‖ = n2 + m2. Essendo un dominio euclideo, gli interi di Gauss sono anche un dominioa ideali principali e un dominioafattorizzazioneunica.
Come i numeri interi, anche gli interi di Gauss possono essere scritti ...
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aritmetica, teorema fondamentale dell'
aritmetica, teorema fondamentale dell’ detto anche teorema della fattorizzazioneunica dei numeri naturali, stabilisce che ogni numero naturale n maggiore di 1 [...] una rappresentazione unica della forma
e il teorema fondamentale dell’aritmetica – che afferma sia l’esistenza della fattorizzazione sia la sua unicità – sancisce il fatto che l’anello Z dei numeri interi è un → dominioafattorizzazioneunica. ...
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polinomi, anello dei
polinomi, anello dei locuzione con cui si indica l’insieme A[x] dei polinomi in un’incognita a coefficienti in un dato anello A, dotato delle due operazioni di addizione e di moltiplicazione. [...] coefficienti: per esempio, se A è un dominio d’integrità, allora anche A[x] lo è; se A è un anello noetheriano, anche A[x] lo è (in base al teorema della base di Hilbert); se A è un dominioafattorizzazioneunica, anche A[x] lo è. Una situazione ...
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polinomio
polinomio somma formale di un numero finito di → monomi, detti termini del polinomio; i coefficienti di un polinomio sono i coefficienti dei termini che lo compongono. Se un polinomio p(x) [...] campo K: in tale caso l’anello K[x] risulta essere un dominio euclideo e quindi un dominioa ideali principali e un dominioafattorizzazioneunica. Ciò vuol dire che, comunque presi due polinomi a(x) e b(x) in K[x], sono determinati due polinomi q ...
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Z
Z (insieme dei numeri interi) insieme numerico che estende l’insieme N dei numeri naturali. È l’unione dell’insieme dei numeri interi positivi
dell’insieme dei numeri interi negativi
e dell’insieme [...] , teorema fondamentale dell’); Z acquisisce così la struttura di → dominioafattorizzazioneunica.
Non tutte le equazioni del tipo bx + a = 0 hanno soluzione in Z: ciò avviene se e solo se a è un multiplo di b. Tale situazione esprime il fatto che ...
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fattore
fattore in aritmetica e algebra, ciascuno degli operandi di una moltiplicazione: per esempio, nella moltiplicazione tra numeri interi 2 ⋅ 3, i fattori sono 2 e 3. Se n è un numero intero, un [...] primo e fattore comune possono essere riformulati nel contesto dei polinomi (a coefficienti in un campo) e, più in generale, in un qualsiasi dominioafattorizzazioneunica. Nella scomposizione di un polinomio i fattori primi sono monomi o polinomi ...
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irriducibilita
irriducibilità in algebra, termine che esprime l’impossibilità che un elemento in una data struttura risulti non banalmente il prodotto di due altri elementi. Così, un numero intero n, [...] per definizione, gli elementi che ammettono solamente fattorizzazioni banali. In un dominioafattorizzazioneunica, come nel caso dell’anello Z dei numeri interi o dell’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo, un elemento è irriducibile ...
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minimo comune multiplo
minimo comune multiplo di due numeri interi a, b è un numero intero positivo m che soddisfa le due seguenti proprietà:
• m è multiplo sia di a sia di b;
• se c è multiplo sia di [...] Più in generale, la nozione di minimo comune multiplo è estendibile a un qualsiasi dominio d’integrità D, ma non sempre esso esiste. Se però D è un dominioafattorizzazioneunica, allora il minimo comune multiplo tra due elementi dell’anello esiste ...
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