irriducibilita
irriducibilità in algebra, termine che esprime l’impossibilità che un elemento in una data struttura risulti non banalmente il prodotto di due altri elementi. Così, un numero intero n, [...] detto irriducibile se possiede solamente divisori banali, vale a dire se i suoi unici divisori sono 1, −1, n e −n. Un intero è irriducibile elementi che ammettono solamente fattorizzazioni banali. In un dominio a fattorizzazioneunica, come nel caso ...
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minimo comune multiplo
minimo comune multiplo di due numeri interi a, b è un numero intero positivo m che soddisfa le due seguenti proprietà:
• m è multiplo sia di a sia di b;
• se c è multiplo sia di [...] D, ma non sempre esso esiste. Se però D è un dominio a fattorizzazioneunica, allora il minimo comune multiplo tra due elementi dell’anello esiste sempre ed è unico (a meno di un fattore invertibile). Come nei casi precedenti, dati due elementi ...
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dominio euclideo
dominio euclideo particolare anello A che rappresenta il contesto più generale in cui poter effettuare la divisione con resto. È un dominio di integrità (cioè un anello unitario, commutativo, [...] sono esempi di domini euclidei: la valutazione coincide con il valore assoluto del numero intero nel primo caso, con il grado del polinomio nel secondo caso. Ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali e un dominio a fattorizzazioneunica. ...
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Dedekind, dominio di
Dedekind, dominio di o anello di Dedekind, particolare struttura algebrica costituita da un dominio d’integrità A (cioè un anello commutativo unitario privo di divisori dello zero) [...] ; più precisamente, un dominio di Dedekind è un dominio a ideali principali se e solo se è un dominio a fattorizzazioneunica.
Un primo esempio fondamentale di dominio di Dedekind è la chiusura integrale di un dominio d’integrità A in un campo ...
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dominio d'integrita
dominio d’integrità o dominio, anello commutativo unitario e integro, vale a dire privo di divisori dello zero (→ anello). In un dominio d’integrità, come in ogni anello integro, [...] affinché esso possa essere immerso in un campo. Casi particolari di domini d’integrità sono i → domini a fattorizzazioneunica, i → domini a ideali principali, i → domini euclidei e i domini di → Dedekind, ottenuti richiedendo ulteriori proprietà ...
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elemento primo
elemento primo in algebra, generalizzazione del concetto di → numero primo. La generalizzazione a un qualunque dominio di integrità A obbliga a distinguere due concetti, la irriducibilità [...] un elemento primo in quanto esso divide
ma non divide né (1 + √(−5)) né (1 −√(−5)). Se però A è un dominio a fattorizzazioneunica, come l’anello Z dei numeri interi o l’anello K|x] dei polinomi a coefficienti in un campo, allora le due nozioni di ...
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interi, anello degli
interi, anello degli locuzione con cui ci si riferisce a Z, l’insieme dei numeri interi dotato della struttura di anello con le operazioni di addizione e moltiplicazione, rispetto [...] mentre è invece possibile effettuare la divisione intera. L’esistenza di tale operazione determina su Z la struttura di dominio euclideo; di conseguenza esso ha anche una struttura di dominio a ideali principali e di dominio a fattorizzazioneunica. ...
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integralmente chiuso
integralmente chiuso in algebra, proprietà di un dominio d’integrità A: se B è un secondo dominio d’integrità contenente A, allora A è detto integralmente chiuso in B se ogni elemento [...] integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti (→ quozienti, campo dei). Un esempio di anello integralmente chiuso è costituito dall’anello Z dei numeri interi; più in generale ogni dominio a fattorizzazioneunica è integralmente chiuso (→ anello). ...
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Gauss, lemma di
Gauss, lemma di in algebra, costituisce una premessa per dimostrare che se D è un dominio a fattorizzazioneunica, tale è anche il dominio D[x1, …, xn] dei polinomi a n indeterminate [...] a coefficienti in D. Il lemma considera particolari polinomi, detti polinomi primitivi: si tratta di polinomi a coefficienti in D tali che il massimo comun divisore dei loro coefficienti è 1. Il lemma ...
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polinomio primitivo
polinomio primitivo in algebra, polinomio a coefficienti in un dominio a fattorizzazioneunica D tale che il massimo comun divisore dei suoi coefficienti è uguale a 1. In base al [...] lemma di Gauss il prodotto di due polinomi primitivi è primitivo (→ Gauss, lemma di) ...
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