L'Ottocento: matematica. Equazioni differenziali ordinarie
Jeremy Gray
Equazioni differenziali ordinarie
Variabili reali
Durante il XVIII sec. i matematici avevano risolto un numero crescente di equazioni [...] non ha alcun significato se non viene specificato il suo corrispondente raggiodiconvergenza. In altre parole, data una serie di potenze della forma ∑nanxn (con x reale), o della forma ∑nanzn (con z complesso), egli poneva l'accento sulla necessità ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Problemi di analisi complessa alla fine dell'Ottocento
Jeremy Gray
Problemi di analisi complessa alla fine dell'Ottocento
La teoria generale [...] stimolò Hadamard a scegliere come argomento della sua tesi di dottorato le proprietà di una funzione definita da una serie di Taylor. Egli considerò una serie di potenze con raggiodiconvergenza unitario e studiò come la natura delle singolarità ...
Leggi Tutto
lacuna
lacuna in una successione di numeri naturali, intervallo nel quale non cadono interi della successione. Insiemi lacunari di numeri interi intervengono in diverse questioni relative alle serie. [...] da zero solo i coefficienti dei termini con esponente n!; essa ha raggiodiconvergenza 1, e la sua somma ƒ(z) non può essere prolungata al di fuori del cerchio diconvergenza, essendo tutti i punti della circonferenza punti singolari per ƒ(z). Una ...
Leggi Tutto
funzione trascendente
funzione trascendente funzione non algebrica, cioè funzione di variabile reale che non è esprimibile a partire dalla sua variabile indipendente tramite semplici operazioni aritmetiche [...] analitica che ammette come unica singolarità (essenziale) il punto z = ∞. Le funzioni analitiche intere hanno raggiodiconvergenza infinito; K. Weierstrass ha dimostrato che tali funzioni si possono rappresentare in generale mediante prodotti e ...
Leggi Tutto
Abel, teorema di
Abel, teorema di in algebra, teorema che stabilisce la proprietà alla base del criterio di Abel (→ Abel, criterio di) per la uniforme convergenzadi una serie di potenze. Afferma che [...] una generalizzazione nel campo complesso: se la serie
avente raggiodiconvergenza R, converge in un punto z0 della circonferenza diconvergenza, essa converge uniformemente in un settore circolare di vertice z0, limitato da due corde uscenti da z0 ...
Leggi Tutto
Cauchy-Hadamard, formula di
Cauchy-Hadamard, formula di o teorema di Cauchy-Hadamard, fornisce il raggiodiconvergenza della serie di potenze
come reciproco del massimo limite della successione
Se [...] questo è nullo, la convergenza si estende a tutto il piano complesso. Quindi, indicato con R il raggiodiconvergenza della serie di potenze data, si ha:
(con le convenzioni 1/0 = ∞, 1/∞ = 0). ...
Leggi Tutto
SINGOLARITÀ
Oscar Chisini
. Nella matematica un ente si dice singolare, in relazione a qualche suo carattere, quando questo non competa alla totalità (o alla maggioranza) degli enti della classe cui [...] (v. funzione, n. 33). Si consideri una serie di potenze, di x − α, che converga in un certo cerchio (diconvergenza) di centro α e diraggio (diconvergenza) ρ. Entro questo cerchio si ha allora la funzione di x
Se β è un punto interno al detto ...
Leggi Tutto
funzione analitica
funzione analitica in analisi, funzione complessa di variabile complessa, ƒ(z), che in un aperto Ω ⊆ C ammette derivata complessa
Una funzione analitica in Ω è anche detta funzione [...] ; da queste si deduce che ƒ è dotata di derivata di ogni ordine e che è sviluppabile in serie di → Taylor
in un intorno di ogni suo punto di analiticità. Viceversa, ogni serie di potenze in C avente raggiodiconvergenza R > 0 ha come somma una ...
Leggi Tutto
serie di potenze
serie di potenze serie di funzioni della forma
dove z = x + iy è una variabile complessa, z0 (punto iniziale della serie) un punto di C, insieme dei numeri complessi, e an sono coefficienti [...] è una funzione analitica; la derivazione per serie è sempre lecita e la serie derivata ha lo stesso raggiodiconvergenza. Si verifica quindi che ƒ(z) è dotata di derivate di ogni ordine, e che risulta in particolare ƒ(n)(z0) = n!an, sicché la serie ...
Leggi Tutto
matrici, serie di
matrici, serie di estensione delle serie di → Maclaurin (e di → Taylor) da variabili complesse a matrici. Si consideri per esempio la serie esponenziale
e al posto della variabile [...] ordine y″ + A2y = 0. Si possono anche definire serie di matrici a partire da serie di potenze con raggiodiconvergenza R < +∞; in tal caso però la convergenza della serie di matrici è subordinata alla condizione che una norma della matrice sia ...
Leggi Tutto
convergente
convergènte agg. e s. m. [part. pres. di convergere]. – 1. agg. Che converge, cioè si dirige a un medesimo fine o punto: linee c.; strade c.; due fasci di luce convergenti; e in senso fig.: azioni, interessi convergenti. 2. agg....
vergenza
vergènza s. f. [der. di vergere]. – 1. In ottica, in un sistema ottico centrato e a un raggio incidente o emergente, è l’angolo che il raggio forma con l’asse del sistema; relativamente al fascio di raggi divergenti da un punto oggetto...