RISULTANTE

RISULTANTE

. Termine matematico, che ha due significati nettamente distinti, l'uno geometrico e l'altro algebrico.

1. Il concetto geometrico di risultante si ricollega alla composizione delle forze. Le forze sono grandezze vettoriali, cioè grandezze caratterizzate non soltanto da un certo valore assoluto, bensì anche da una determinata direzione e da un determinato verso; talché si rappresentano per mezzo di segmenti orientati o vettori applicati. Ora se ad un punto O sono applicate due forze, rappresentate dai due segmenti orientati OP, OQ (non giacenti su una stessa retta per O), il principio del parallelogrammo (v.) stabilisce l'equivalenza - statica e dinamica - del sistema delle due forze all'unica forza rappresentata dalla diagonale OR del parallelogrammo contenuto da OP e OQ (fig. 1). Perciò il vettore applicato OR si dice risultante dei due vettori OP e OQ. Il suo estremo R si ottiene applicando nell'estremo P di OP il segmento orientato equipollente a OQ (cioè avente la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso); e questa costruzione si estende (al pari della corrispondente interpretazione meccanica) al caso di quanti si vogliono vettori v₁, v₂, . . ., v_n. Se, a partire da un qualsiasi punto O, si immagina di costruire la poligonale OA₁A₂ . . . A_n-1 A_n, i cui successivi lati OA₁, A₁A₂, . . ., A_n-1 A_n, orientati ciascuno nel verso di percorrenza della poligonale da O ad A_n, rappresentino ordinatamente i vettori dati v₁, v₂, . . ., v_n (fig. 2), si dice risultante (o anche somma geometrica) di essi il vettore rappresentato dal segmento orientato OA_n (o da qualsiasi altro segmento equipollente).

2. Se si considerano due equazioni algebriche in una stessa incognita x

non v'è ragione che esse risultino soddisfatte da uno stesso valore della incognita, cioè ammettano una radice comune. Perché ciò accada occorre e basta che si annulli una certa espressione formata con i coefficienti a₀, a₁, . . ., a_m, b₀, b₁, . . ., b_n, la quale si dice il risultante delle due equazioni o anche dei due polinomî A(x), B(x), che ne costituiscono i primi membri. Questo risultante è, rispetto agli a_r e ai b_s, un polinomio; ed è omogeneo di grado n rispetto agli a_r, di grado m rispetto ai b_s. Se poi di ogni suo termine si dice peso la somma degli indici degli a_r e b_s che vi compaiono come fattori, tutti i termini del risultante sono di peso mn, o, come si suol dire, il risultante è isobarico di peso mn.

Per es., il risultante di due equazioni di 2° grado

è dato da

Per più precise e larghe notizie, v. algebra, nn. 44-46.