ROTAZIONALE

ROTAZIONALE

. In ogni istante t si associ a ogni punto P (x, y, z) di una regione R dello spazio un vettore v, di cui le componenti secondo gli assi di un sistema cartesiano si denotino con v_x, v_y, v_z. Si dice rotore (o anche vorticale, e, con parola inglese, curl, o, tedesca, Quirl) di v nell'istante e nel punto considerati, e si indica con rot v, il vettore di componenti

Il concetto di rotore trae le sue origini da considerazioni idrodinamiche. Si supponga infatti che la regione R sia quella occupata all'istante t da una massa fluida in moto, talché a ogni punto P di R resti associato il vettore velocità della particella che all'istante t transita per P. Se allora si fissa l'attenzione sulla particella circostante a un punto O di R, si dimostra che nell'intervallo di tempo da t a t + dt, lo spostamento dP subito da un punto P della particella si può decomporre nella somma di tre spostamenti. Uno di questi è appunto una rotazione infinitesima intorno alla retta per P avente la direzione di rot v.

In un intervallo di tempo tale che il vettore rot v relativo a ogni istante non sia nullo, il moto del fluido si dice rotazionale o vorticoso.

In tal caso è importante la considerazione delle linee vorticose, le quali, a ogni istante, si definiscono come quelle linee, che in ciascun loro punto risultano tangenti al rot v relativo al punto. Può accadere, eccezionalmente, che queste linee vorticose siano chiuse; in generale, la loro disposizione è molto complicata. Esse costituiscono a ogni istante, una famiglia di curve a due parametri, tale che ne passa una e una sola per ogni punto della regione occupata dal fluido in quell'istante.

Una superficie vorticosa o vortice, all'istante t, è una superficie, che in ogni suo punto sia tangente al rot v relativo al punto.

Un importante teorema di H. v. Helmholtz afferma che le particelle fluide, che in un istante particolare costituiscono una linea o superficie vorticosa, seguitano a formare una linea o superficie vorticosa anche in ogni altro istante. Questo teorema è valido solo per i fluidi perfetti; e in natura viene meno a causa della viscosità. Ma, quando la viscosità non è troppo accentuata, la conservazione dei vortici si verifica in un conveniente intervallo di tempo. Così accade, p. es., dei cicloni atmosferici e - fenomeno più modesto, ma accessibile a tutti - degli anelli di fumo.

In particolari moti rotazionali, scoperti da E. Beltrami nel 1889, accade che in ogni istante la distribuzione delle velocità è tale che in ogni punto il vettore velocità v ha la stessa direzione del vettore rot v.

In questo caso le linee vorticose si identificano con le linee di flusso. Se inoltre si suppone che il moto sia permanente, si dimostra che un esempio di moto del Beltrami è quello che possiede ogni vena uscente da un serbatoio.