giocatore, rovina del
giocatore, rovina del
Classico problema posto da B. Pascal alle origini della teoria della probabilità. Fa riferimento a una situazione in cui due giocatori A e B cominciano, con la medesima dotazione iniziale di fondi, una serie di scommesse di posta unitaria con probabilità costante (p) di vincita (perdita) per il primo (secondo) g.: dunque q=1−p di vincita (perdita) del secondo (primo). Il gioco termina quando uno dei due g. è rovinato (ha esaurito la propria dotazione). Quale è la probabilità che ciò accada entro n colpi?
La versione di Bernoulli
N. Bernoulli risolse nel 1713 una versione più generale del problema, in cui le risorse iniziali dei g. possono essere diverse (a per A e b per B) e il gioco prosegue a oltranza fino alla rovina di uno dei due giocatori. In tale schema la probabilità che B sia rovinato è R(a,b,p)=(pa+b−pbqa)/(pa+b−qa+b) per a≠b e p≠1/2, R(a,a,p)=pa/(pa+qa), R(a,b, 1/2)=a/(a+b). La probabilità che sia invece rovinato A è in ogni caso il complemento a 1 della R(a,b,p). Ne consegue che se A è infinitamente ricco (ovvero al divergere di a), R(a,b,1/2) tende a 1 ed è praticamente certo che prima o poi B sarà rovinato, magari in tempi molto lunghi (è certa la rovina asintotica di B).
La versione di De Finetti. Una ulteriore generalizzazione importante nelle applicazioni assicurative fu proposta nel 1940 da B. De Finetti. Egli provò dapprima che la probabilità di rovina non si modificava in uno schema di scommesse più generali, vincolate alla sola ipotesi di equità (speranza matematica di guadagno nulla) a ogni colpo. Successivamente, sempre nel caso di ricchezza infinita di uno dei due g., si occupò di determinare la probabilità di rovina asintotica dell’altro g. (quello con ricchezza finita) nel caso di giochi non equi ma per lui favorevoli, caratterizzati da una condizione particolare: esista una costante α>0 tale che ogni singolo guadagno aleatorio Gh soddisfi la E(exp(−α·Gh))=1. In queste condizioni risulta che la probabilità di rovina di B tende al valore exp(−α·b), funzione decrescente tanto della dotazione iniziale b, che del livello α; in particolare se ogni Gh è normale di media mh e varianza Vh si ha α(h)=2mh/Vh. De Finetti pensò di interpretare un’impresa di assicurazione come un g. dotato di una ricchezza iniziale finita b=W, che intraprende con la clientela una sequenza di partite (una per ciascuna polizza) il cui risultato è la differenza fra il premio incassato (al netto delle spese) e il risarcimento, aleatorio, per il sinistro (o i sinistri) gravanti sulla polizza e in questa cornice suggerì per l’impresa una politica di risk management (➔) coerente con il risultato teorico ottenuto. Gestire ogni polizza in modo che α(h)=2mh/Vh sia costante al livello α che rende soddisfatto un obiettivo di contenimento a una soglia π della probabilità di rovina ritenuta accettabile. Ciò si ottiene risolvendo in α l’equazione π=exp(−αW), ovvero scegliendo α=W−1ln(1/π) In condizioni di normalità del guadagno Gh di ogni polizza, ne consegue la regola aurea di calibrare i caricamenti di sicurezza e, ove necessario, le decisioni riassicurative in modo che, dopo la riassicurazione, si verifica la 2mh/Vh=W−1ln(1/π) cioè il rapporto fra guadagno atteso e varianza di ogni polizza sia costante e pari a 2W−1·ln(1/π).