San Pietroburgo, paradosso di
San Pietroburgo, paradosso di
Esempio utilizzato nel 1738 dal matematico svizzero D. Bernoulli (➔) in un contributo pubblicato nei Commentari dell’Accademia delle scienze di San Pietroburgo (Specimen theoriae novae de mensura sortis, trad. ingl. Exposition of a new theory on the measurement of risk, «Econometrica», 1984, 22, 1), per contestare l’utilizzo acritico del criterio della speranza matematica (valore atteso), allora dominante, per confrontare due o più situazioni di guadagno aleatorio (lotterie).
Illustrazione del paradosso
Il paradosso consiste nella costruzione di una lotteria, per la quale il comune buon senso suggerirebbe una valutazione piuttosto bassa, ma caratterizzata da un valore atteso infinito, e dunque, secondo il criterio, preferibile al possesso di un qualsivoglia importo finito anche grandissimo. Tale lotteria paradossale prevede il lancio ripetuto di una moneta perfetta (con probabilità 1/2 di uscita della faccia testa, indicata con T) con pagamento del banco al giocatore di un importo pari a 2n in caso di uscita della prima T al colpo n-esimo. Per es., un giocatore riceve 2 euro se esce testa al primo colpo (n=1, 21=2, con probabilità 1/2), 4 euro se la prima testa esce al secondo colpo (n=2, 22=4, probabilità 1/4), 8 euro se la prima testa esce al terzo colpo (probabilità 1/8 ) e così via. Il guadagno è dunque 2 con probabilità 1/2, 4 con 1/4, 8 con 1/8,…, 2n con 1/2n,… e il valore atteso del guadagno è infinito: (2x1/2)+(4x1/4)+(8x1/8)…+(2nx1/2n)+…
Speranza matematica e speranza morale
Bernoulli riteneva, giustamente, che nessun individuo di buon senso sarebbe stato disposto a pagare per acquistare un biglietto di tale lotteria prezzi superiori a una soglia relativamente contenuta (per es. 30 euro); ciò dimostrava inequivocabilmente l’inapplicabilità del criterio della speranza matematica che invece suggerirebbe di ritenere conveniente il pagamento di un qualunque prezzo finito anche se altissimo (per es. 1 milione di euro). In alternativa, suggerì l’adozione del principio della ‘speranza morale’, definita come la speranza matematica dell’utilità derivante dai guadagni monetari della lotteria. Ciò significava scegliere fra lotterie, confrontando i valori attesi dell’utilità dei loro guadagni, cioè ricorrere al principio dell’utilità attesa. In tale impostazione, l’‘utilità di un importo’ era intesa come corrispondente all’attitudine alla soddisfazione delle esigenze dell’individuo, mediante un opportuno impiego di tale importo. Più specificamente, accogliendo il principio dell’utilità marginale decrescente, secondo il quale l’utilità di eguali incrementi di ricchezza diminuisce all’aumentare della ricchezza già posseduta, Bernoulli propose l’impiego di una funzione di utilità di importo logaritmica, u(x)= b log(x/a) con a,b coppia di parametri positivi eventualmente diversi da individuo a individuo. L’impostazione bernoulliana rimase a lungo trascurata, almeno dal punto di vista applicativo.
L’impostazione neobernoulliana
Solo in epoca relativamente recente, per merito di O. Morgenstern e J. Von Neumann (➔ Von Neumann-Morgenstern, funzione di utilità) in Theory of games and economic behaviour (1947), essa è stata riproposta all’attenzione degli studiosi in una cornice teorica adeguata (➔ anche giochi, teoria dei). In omaggio alla primogenitura bernoulliana, questa rilettura moderna della teoria dell’utilità attesa è chiamata impostazione neobernoulliana.