semigruppo

semigruppo

semigruppo insieme A dotato di un’operazione binaria interna associativa (→ associatività); formalmente si definisce come una coppia (A, ∗), dove A è un insieme non vuoto e dove ∗: A × A → A è un’operazione binaria associativa su A. Se l’operazione ∗ è commutativa, allora il semigruppo è detto commutativo o abeliano. Similmente al caso dei gruppi, un semigruppo si dice moltiplicativo se l’operazione è trattata formalmente come una moltiplicazione (notazione moltiplicativa); solitamente in questo caso l’operazione è indicata con i simboli ⋅ o ∗, oppure omessa e il prodotto x ∗ y di due elementi è allora semplicemente indicato con xy. Similmente un semigruppo si dice additivo se l’operazione è trattata formalmente come un’addizione (notazione additiva); in questo caso l’operazione è solitamente indicata con il simbolo +. Un esempio di semigruppo commutativo è fornito dall’insieme dei numeri naturali dotato dell’operazione di addizione o di quella di moltiplicazione. Se il semigruppo (A, ∗) ha l’elemento neutro, cioè un elemento e ∈ A tale che per ogni x ∈ A risulta x ∗ e = e ∗ x = x, il semigruppo è detto monoide. Ogni monoide e ogni gruppo sono in particolare dei semigruppi; un esempio di semigruppo che non sia un monoide è l’insieme (Z₊, +) dei numeri interi positivi rispetto all’addizione. Un esempio di semigruppo che è anche monoide è invece (N, +), cioè l’insieme dei numeri naturali con l’operazione di addizione, giacchè 0 ∈ N ed è l’elemento neutro dell’addizione.