gruppo, serie di composizione di un
gruppo, serie di composizione di un
gruppo, serie di composizione di un successione di sottogruppi G0, G1, …, Gn di un gruppo G contenuti l’uno dentro l’altro, con G0 uguale a G e con Gn uguale al gruppo banale costituito dal solo elemento neutro {1} = Gn ≤ ... ≤ G1 ≤ G0 = G, in modo che ogni gruppo Gi è normale massimale nel precedente. In particolare, i gruppi quoziente Gi−1/Gi sono tutti semplici, cioè privi di sottogruppi normali non banali. L’intero n è detto lunghezza della serie, i gruppi quoziente Gi−1/Gi sono detti quozienti di composizione e i loro ordini sono detti fattori di composizione. Due serie di composizione di uno stesso gruppo sono dette isomorfe se hanno la stessa lunghezza e se i quozienti di composizione dell’una sono isomorfi (a meno dell’ordine in cui compaiono) ai quozienti di composizione dell’altra. Se il gruppo G è infinito, allora possono non esistere serie di composizione. Al contrario, se G è finito, esiste sempre una serie di composizione, unica a meno di isomorfismo (teorema di Jordan-Hölder). Un gruppo finito è risolubile se e solo se i suoi fattori di composizione sono tutti numeri primi.