serie di potenze

serie di potenze

serie di potenze serie di funzioni della forma

dove z = x + iy è una variabile complessa, z₀ (punto iniziale della serie) un punto di C, insieme dei numeri complessi, e a_n sono coefficienti complessi. Per convenzione il termine (z − z₀)⁰ vale 1 anche in z = z₀. Si dimostra che una serie di potenze converge assolutamente in un cerchio di convergenza, con il centro in z₀ e con il raggio R dato dalla formula di → Cauchy-Hadamard (→ convergenza, cerchio di); essa può convergere anche in alcuni punti della circonferenza di convergenza |z − z₀| = R. Si usa dire che il raggio di convergenza è nullo se la serie converge soltanto nel suo punto iniziale e che è invece infinito se la serie converge in tutto il piano complesso.

Se il punto iniziale della serie è l’origine 0 (invece di z₀) la serie di potenze assume la forma

Se z è reale, il cerchio di convergenza si riduce a un intervallo di centro il punto iniziale (O se tale punto è l’origine).

Circa i criteri di convergenza per una serie di potenze, la convergenza è uniforme in ogni cerchio chiuso con centro in z₀ e raggio r < R (teorema di Weierstrass). Vale inoltre il teorema di Abel, che stabilisce che se la serie

avente raggio di convergenza R, converge in un punto z₀ della circonferenza di convergenza, essa converge uniformemente in un settore circolare di vertice z₀, limitato da due corde uscenti da z₀ e interno al cerchio di convergenza. Il teorema ha interessanti applicazioni nel caso di z reale.

Entro il cerchio di convergenza, la somma ƒ(z) di una serie di potenze è una funzione analitica; la derivazione per serie è sempre lecita e la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza. Si verifica quindi che ƒ(z) è dotata di derivate di ogni ordine, e che risulta in particolare ƒ⁽ⁿ⁾(z₀) = n!a_n, sicché la serie coincide con la serie di → Taylor

della sua somma. Il concetto di serie di potenze può essere esteso a funzioni di più variabili, che portano a → serie multiple. Per esempio, per due variabili x e y si ha la → serie doppia

In tal caso la generalizzazione del cerchio di convergenza si configura come segue: esistono infinite coppie di numeri positivi R e R′, tali che per |x − x₀| < R e |y − y₀| < R′ la serie converge assolutamente; le coppie di cerchi che si trovano rispettivamente sul piano complesso della x e sul piano complesso della y costituiscono il cosiddetto sistema di cerchi di convergenza associati. Si può fare la derivazione per serie anche in questo caso e le serie derivate parziali hanno gli stessi sistemi di cerchi di convergenza associati.