Taylor, serie di

Taylor, serie di

Serie di potenze (➔ serie matematica) elaborata da B. Taylor, i cui addendi contengono potenze dell’argomento x di una funzione f. La serie di T. di una funzione f(x) definita in un intervallo aperto (a−m, a+m) a valori reali o complessi e infinite volte derivabile è: f(x)=f(a)+ f⁽¹⁾(a)(x−a)+f⁽²⁾(a)(x−a)²/2+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n!+..., dove f⁽ⁿ⁾(a) indica la derivata n-esima di f calcolata in a, e n!=n(n−1)(n−2)∙∙∙2∙1 (si legge n fattoriale). La serie di T. si può estendere anche a funzioni di due o più argomenti. Se la serie di T. converge e la sua somma è uguale a f(x), allora la funzione f si dice analitica. In particolare, se a=0, tale serie è chiamata serie di MacLaurin. Esempi di funzione analitica sono la funzione esponenziale f(x)=e^x= Σ^∞_n=0xⁿ/n!, la funzione logaritmica (per ∣x∣<1) f(x)=log(1+x)=Σ^∞_n=1(−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n, e la funzione f(x)=sin(x)=Σ^∞_n=0(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!.