serie matematica

serie matematica

Una s. m. è la somma dei termini di una successione (➔ successione numerica). Se la successione {a₁,a₂,...,} è infinita, la s. è definita dalla somma infinita a₁+a₂+..., indicata, in forma più compatta, dal simbolo Ʃ^∞_n=1a_n. Generalmente, i termini della s. sono definiti da una qualche formula matematica, come per es. a_n=1/n². Si chiama somma parziale di ordine n (n≥1) la somma dei primi n termini della successione, cioè S_n=a₁+...+a_n=Ʃⁿ_j=1a_j. Poiché S_n è definita per ogni n, si può considerare la successione {S_n} delle somme parziali. Una s. Ʃ^∞_n=1a_n si dice convergente se la successione {S_n} delle sue somme parziali converge a un limite finito S, detto la somma della serie. Si dice che la s. diverge se la successione {S_n} diverge a +∞ o a −∞. Si dice infine indeterminata se tale limite non esiste. Condizione necessaria affinché la s. Ʃ^∞_n=1a_n sia convergente è che lim_n→∞a_n=0. Questa condizione non è però sufficiente: per es., la s. armonica Ʃ^∞_n=11/n è divergente, sebbene lim_n→∞1/n=0 . Una s. Ʃ^∞_n=1a_n si dice assolutamente convergente se è convergente la s. Ʃ^∞_n=1|a_n| che ha per argomento i valori assoluti della successione {a_n}. Una s. assolutamente convergente è anche convergente. Non vale invece l’opposto.

Serie geometrica

La s. Ʃ^∞_n=oxⁿ è chiamata s. geometrica. Per ogni n≥0 si ha S_n=Ʃ^∞_n=oxⁿ= (1−xⁿ⁺¹)/(1−x). Quindi, tale s. converge a S=lim_n→∞S_n=(1−x)⁻¹ se |x|<1, mentre è divergente se |x|≥1. Il caso particolare x=1/2 dà come risultato Ʃ_n1/2ⁿ=2.

P-serie

La serie Ʃ^∞_n=11/n^p è divergente se p ≤1 e convergente se p>1. Il caso p=1 corrisponde alla s. armonica, mentre, per es., per p=2 si ha Ʃ_n1/n²=π²/6.

Serie telescopica

Può essere scritta nella forma Ʃ^∞_n=1(b_n−b_n−1) e la somma parziale di ordine n è uguale a Ʃⁿ_j=1 (b_j−b_j−1)=b_n−b₀. Essa è convergente se lim_n→∞b_n=b<∞ e tende a S=b−b₀.

Serie di potenze

S. m. i cui addendi sono potenze successive di una variabile x. La s. geometrica è una s. di potenze. Un altro esempio è la s. Ʃ^∞_n=0xⁿ/n!, dove il simbolo n! (n fattoriale) è dato da n!=n(n−1)(n−2)...2∙1. Quest’ultimo esempio appartiene a un tipo particolare di s. di potenze chiamato s. di Taylor (➔ Taylor, serie di), che è l’espressione di una funzione f (analitica) sotto forma di serie. Quella nell’esempio è la s. di Taylor della funzione f(x)=e^x.