serie storiche

serie storiche

Modello matematico dell’evoluzione nel tempo di un fenomeno aleatorio. Dal punto di vista formale, una s. s. è un tipo particolare di processo aleatorio (➔), in cui l’indice del processo rappresenta il tempo. In generale, si distingue tra processi a tempo discreto e a tempo continuo, a seconda che l’indice t vari all’interno di un insieme discreto (per es., t=0,1,2,...) o continuo (t∈(0,∞)). Generalmente, l’espressione s. s. si riferisce a un processo aleatorio a tempo discreto, in cui la distanza tra istanti successivi è costante (per es., t,t+1,t+2,...). Quando la s. descrive un fenomeno che ha un’origine nota nel tempo, tale origine si assume in genere uguale a t₀=0. Altrimenti, l’istante t=0 è un’utile riferimento temporale che consente di distinguere eventi accaduti prima (t<0) e dopo (t>0) l’istante di riferimento. L’esempio più semplice di s. s. è il rumore bianco {U_t} (➔ rumore bianco), che non ha persistenza (➔) in quanto composto da variabili aleatorie incorrelate (rumore bianco in senso debole) o addirittura indipendenti (rumore bianco in senso forte). Altri esempi, strettamente legati al rumore bianco {U_t}, sono il processo a media mobile di ordine 1, MA(1) (➔ MA), definito dalla relazione X_t=U_t−ΘU_t−1, e il processo autoregressivo di ordine 1 (➔ autoregressivo, modello), definito dalla relazione X_t=βX_t−1+U_t.

Serie storiche stazionarie e non stazionarie

Essendo un processo aleatorio, una s. s. può essere stazionaria (➔ stazionarietà statistica) o non stazionaria. La funzione di autocovarianza (➔) di una s. s. stazionaria in senso debole, Cov(X_t,X_s), dipende soltanto dalla distanza tra gli indici temporali t e s, e quindi Cov(X_t,X_s)=Cov(X_t−s,X₀). Una s. s. a media mobile è sempre stazionaria. Una s. autoregressiva lo è soltanto sotto opportune condizioni. Nel caso AR(1), la s. X_t=βX_t−1+U_t è stazionaria se e soltanto se ∣β∣<1. ● Una s. s. {X_t} si dice invertibile se vale la rappresentazione U_t=Ʃ_jπ_jX_tj, dove U_t è un rumore bianco e la successione (➔ successione numerica) π_j soddisfa π₀=1, Ʃ_j∣π_j∣‹∞, cioè la s. Ʃ_jπ_j è assolutamente convergente (➔ serie matematica). In altre parole, {X_t} è invertibile se può essere rappresentata come un processo autoregressivo AR(∞) di ordine infinito. ● Una s. s. {X_t} si dice stabile se vale la rappresentazione X_t=Ʃ_jψ_jU_tj, dove U_tj è un rumore bianco, e la successione ψ_j soddisfa ψ₀=1, Ʃ_j∣ψ_j∣<∞. In altri termini, {X_t} è stabile se può essere rappresentata come un processo a media mobile MA(∞) di ordine infinito. Una s. stabile è anche stazionaria. ● Una s. s. si dice ergodica se la sequenza delle sue medie temporali ha lo stesso limite, per t→∞, della media t-esima della s. (➔ ergodicità).

Distribuzione di una serie storica

La distribuzione di una s. s. {X_t} (➔ distribuzione di probabilità) è univocamente determinata se è nota la distribuzione di qualunque sottoinsieme finito di variabili aleatorie che compongono la s., se cioè è nota la funzione di ripartizione F(X_t1≤x₁,...,X_tk≤x_k) per ogni k<∞ e per ogni possibile k-upla di indici (t₁,...,t_k) e di valori (x₁,...,x_k). È possibile descrivere la distribuzione di una s. s. anche attraverso la funzione di densità spettrale. Se {X_t} è una s. s. stazionaria, con funzione di autocovarianza γ(h), la funzione di densità spettrale di X_t è uguale alla trasformata di Fourier (➔ Laplace, trasformata di) della funzione di autocovarianza:

f

(ω)=15 πƩ^+∞_h=−∞γ(h)e^−iωh,

dove i è l’unità immaginaria

i=√1−1.