serie trigonometrica
serie trigonometrica
serie trigonometrica serie del tipo
dove a0, an, bn sono numeri reali assegnati e x è reale. Se essa converge per x compreso tra −π e π essa converge per ogni x reale e la sua somma determina una funzione periodica di periodo 2π. Data una funzione periodica di periodo 2π, la serie trigonometrica qui scritta è detta serie di → Fourier di ƒ se
(nella prima formula il termine a0 non è compreso nella sommatoria perché così si ha un’unica formula per calcolare tutti i coefficienti an).
Se ƒ è limitata, di periodo 2π, ha solo discontinuità di prima specie e in ogni punto ha derivata destra e sinistra, la sua serie di Fourier è ovunque convergente e la sua somma è uguale a ƒ(x) nei punti di continuità ed è uguale alla media tra il limite destro e il limite sinistro nei punti di discontinuità; la convergenza è uniforme in ogni intervallo chiuso in cui ƒ è continua. Si chiama → analisi armonica la decomposizione della funzione ƒ in somma di funzioni periodiche semplici (seno e coseno): il termine a1cosx + b1sinx è detto armonica fondamentale di ƒ (→ Fourier, serie di).