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serie

Enciclopedia della Matematica (2013)
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serie


serie successione che consente di generalizzare la nozione di somma al caso di un numero infinito di addendi. Tali addendi possono essere numeri (→ serie numerica) o funzioni (→ serie di funzioni), ma anche matrici od operatori lineari. Tra le serie numeriche si segnalano la serie armonica, la serie geometrica, la serie trigonometrica e quelle tradizionalmente riportate con il nome del matematico che le introdusse (per esempio, la serie di → Gauss, la serie di → Grandi, la serie di → Mengoli, la serie di → Riemann). Tra le serie di funzioni si segnalano le → serie di potenze e, anche in questo caso le principali serie riferibili al matematico o ai matematici che le studiarono: la serie di → Dirichlet, la serie di → Fourier, la serie di → Laurent, la serie di → Maclaurin, da cui si ricava la serie di → Gregory-Leibniz, la serie di → Mercatore, la serie di → Taylor).

Formalmente una serie può essere definita mediante una coppia di successioni {an}, {sn} di elementi di uno spazio normato E, legate tra loro dalle formule

formula

Gli elementi an si dicono termini della serie, mentre gli elementi sn si dicono somme parziali o ridotte n-esime. Una serie si indica con i simboli

formula

a prescindere dalla possibilità che a essi possa essere attribuito un significato effettivo. A volte come primo termine viene scelto quello di indice 1 se tale scelta agevola sul piano formale.

Si chiama serie subordinata a una serie data, ottenuta dalla successione a0, a1, ..., an, ..., una qualsiasi serie ottenuta da una sua sottosuccessione.

Si chiama limite di una serie il limite della successione delle somme parziali: se esiste ed è finito, la serie è convergente e tale limite S è detto somma della serie:

formula

Se il limite è infinito la serie è divergente, mentre nel caso in cui tale limite non esista la serie è detta indeterminata o oscillante. Se E è uno spazio completo, per la convergenza della serie data è sufficiente la convergenza della serie numerica

formula

Se questa serie è convergente la serie si dice totalmente convergente.

Si chiama resto k-esimo Rk della serie, la serie:

formula

ottenuta a partire dalla sottosuccessione ak+1, ak+2, ... Rappresenta l’errore commesso se nel calcolo della somma della serie ci si arresta alla somma parziale k-esima:

formula

(→ Lagrange, resto di; → Peano, resto di).

È anche possibile considerare una serie formale come un semplice simbolo, collegato a una “somma”, senza che ciò implichi la convergenza (si veda anche → sviluppo asintotico).

La nozione di serie si estende in varie direzioni, per esempio, a partire dalle successioni bilatere e dalle successioni multiple. I problemi fondamentali concernenti le serie sono:

• la convergenza: stabilire se a una data serie possa essere attribuita una somma (serie convergente) o no;

• la sintesi e l’analisi per serie: stabilire, per una serie convergente, una espressione chiusa per la sua somma e, viceversa, esprimere un numero o una funzione come somma di una opportuna serie;

• la rapidità di convergenza: stabilire, per una serie convergente, quanti addendi debbano essere presi in considerazione per ottenere la somma con una desiderata precisione;

• le proprietà e le operazioni: generalizzare alle serie le regole dell’algebra delle somme (associativa, commutativa, distributiva) e quelle per eseguire prodotti e quozienti;

• nel caso di serie di funzioni, stabilire quando sia possibile generalizzare a somme infinite i teoremi classici dell’analisi su limiti, derivate e integrali di somme.

Tag
  • LIMITE DELLA SUCCESSIONE
  • SERIE DI → DIRICHLET
  • SERIE DI → FOURIER
  • SERIE DI → LAURENT
  • SERIE DI → TAYLOR
Vocabolario
sèrie
serie sèrie s. f. [dal lat. series, der. di serĕre «intrecciare, infilare»]. – 1. Successione ordinata e continua di elementi, concreti o astratti, dello stesso genere: è il quarto nella s. dei papi, degli imperatori romani; la s. dei numeri...
seriare
seriare v. tr. [der. di serie] (io sèrio, ecc.), non com. – Disporre in serie, secondo una serie; soprattutto con riferimento a una seriazione (v.) statistica.
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