SEZIONE

SEZIONE

. Matematica. - Di una figura piana si dice sezione con una retta del suo piano l'insieme dei punti comuni alla figura e alla retta; e similmente si definisce la sezione di una figura dello spazio con una retta o con un piano. Per es., la sezione di un prisma indefinito con un piano, non parallelo ai suoi spigoli, è un poligono; la sezione di un cono rotondo con un piano, non passante per il vertice e non parallelo ad alcuna generatrice, è un'ellisse o un'iperbole o una parabola (v. coniche); ecc.

In senso estensivo si designa col nome di sezione anche l'operazione stessa del segare una figura - con una retta o con un piano -; onde poi si dice che proiezioni e sezioni sono le operazioni fondamentali della geometria proiettiva (v. geometria, n. 23).

Sezione aurea. - Nella terza delle definizioni (ὅροι o termini) del libro VI degli Elementi, Euclide dice che un segmento è diviso in media ed estrema ragione, quando l'intero segmento ha alla sua parte maggiore lo stesso rapporto che questa parte maggiore ha alla minore; e l'effettiva costruzione del punto di divisione è data alla prop. 30 del medesimo libro. Se a è la lunghezza del segmento considerato e si denota con x quella della parte maggiore, il problema si traduce nella proporzione

cioè nell'equazione di 2° grado

onde risulta che lo stesso problema si può formulare nei termini seguenti: dividere un segmento in due parti tali che il rettangolo dell'intero segmento e di una delle sue parti sia equivalente (cioè abbia estensione uguale) al quadrato dell'altra parte. Sotto questa forma il problema è risolto negli Elementi di Euclide alla prop. 11 del libro II.

La lunghezza della parte maggiore nella divisione in media ed estrema ragione del segmento di lunghezza a è data dalla radice positiva dell'equazione di 2° grado sopra indicata, cioè da

e questo segmento in molti trattati elementari moderni si designa col nome di sezione aurea del segmento a. Una tale denominazione (goldener Schnitt) è stata adottata per la prima volta, secondo J. Tropfke, nella Reine Elementarmathematik, II (Berlino, 1835) di M. Ohm, e si riconnette al carattere estetico, che alla divisione di un segmento in media ed estrema ragione si attribuiva nel Rinascimento. Vedansi in proposito la Divina proportione (1503) di L. Paciuoli, le Scholae mathematicae (1596) di P. Ramus, le opere di Keplero.

La sezione aurea del segmento a è il lato del decagono regolare di raggio a; ed è anche il raggio del pentagono regolare di lato a (v. poligono).

Sezione aritmetica. - Un senso puramente aritmetico è dato al vocabolo "sezione" da R. Dedekind nella sua teoria dei numeri reali (v. numero). L'insieme dei numeri razionali relativi (cioè interi e fratti, positivi e negativi) è per sé stesso ordinato (in quanto di due quali si vogliano numeri razionali relativi disuguali, uno è necessariamente maggiore dell'altro) ed è, di più, denso (cioè tale che fra due numeri razionali relativi disuguali risultano sempre compresi infiniti numeri razionali relativi); ma non è continuo (v. continuità). Precisamente, se si considera una retta (la quale, in forza dei suoi postulati caratteristici, costituisce un insieme di punti ordinato e continuo) e a ciascun numero razionale si fa corrispondere quel punto della retta che lo ammette come ascissa (v. coordinate), non si ottengono tutti i punti della retta, bensì restano esclusi tutti, e soli, quelli la cui distanza dall'origine è incommensurabile (v.) con l'unità adottata. Si può dunque dire che a ciascuno dei punti di quest'ultimo tipo corrisponde nell'insieme ordinato dei numeri razionali una soluzione di continuità o lacuna; ed è in ciascuna di queste infinite lacune che, per rendere continuo l'insieme dei numeri si inseriscono - "con un atto creativo della nostra mente", come dice il Dedekind - altrettanti numeri di nuova specie, o irrazionali. Ora, per definire in via puramente aritmetica codeste lacune - e quindi i corrispondenti numeri irrazionali - il Dedekind chiama sezione, e denota col simbolo (A₁, A₂), ogni ripartizione di tutti i numeri razionali in due classi A₁, A₂ aventi la sola proprietà caratteristica che ogni numero della A₁ sia minore di ogni numero della A2. Può acmdere che in una tal sezione la classe di numeri razionali A₁ abbia un massimo (e quindi la A₂ non abbia minimo), oppure che la A₂ abbia un minimo (e quindi la A₁ non abbia massimo): e in entrambi questi casi la sezione (A₁, A₂) si dice determinata da quel certo numero razionale, che è il massimo della A₁ o, rispettivamente, il minimo della A₂. Ma può anche darsi che né la A₁ abbia massimo, né la A₂ abbia minimo (si pensi, ad es., la sezione che si ottiene, mettendo in A₁ tutti i numeri razionali, il cui cubo è minore di 2, e in A₂ tutti quelli, il cui cubo è maggiore di 2); e in tal caso la sezione (A₁, A₂) definisce, come compresa fra i numeri della A₁ e quelli della A₂, una lacuna dell'insieme ordinato dei numeri razionali, e quindi un certo numero irrazionale (nell'esempio or ora accennato la n√2. Così, per definizione, ogni numero irrazionale risulta individuato dalla classe di tutti i numeri razionali minori e da quella di tutti i numeri razionali maggiori. In altre parole, esso è definito da tutti i suoi valori approssimati, per difetto e per eccesso, in ogni possibile ordine di approssimazione; e di qui discende la possibilità di definire, per i numeri irrazionali, anche le operazioni fondamentali (addizione e moltiplicazione, sottrazione e divisione), operando sui rispettivi valori approssimati, in ogni ordine di approssimazione.