sillogistica

sillogistica

Qualsiasi versione della dottrina del sillogismo (➔), da quella originaria aristotelica, a quella della trattatistica ottocentesca, relativa alla cosiddetta logica tradizionale, che precede la moderna logica matematica.

La sillogistica come logica elementare

Nel quadro della logica formale moderna la s. fa parte della logica elementare (esprimibile nel linguaggio del calcolo dei predicati del primo ordine senza identità) di cui costituisce un frammento a sé. Intuitivamente, si può definire s. ogni inferenza deduttiva, a partire da due premesse assunte congiuntamente, di una conclusione, sotto alcune restrizioni sulla forma delle premesse e della conclusione e sul loro significato. Tali restrizioni sono: (1) premesse e conclusione s’intendono interpretabili come proposizioni dichiarative, nella forma tradizionale comprendente due termini, uno con la funzione di soggetto della proposizione (e che è un termine generale, per es., «uomo» o «uomini», o anche, talvolta, un termine singolare, «Socrate») e l’altro con la funzione di predicato; (2) posto S il soggetto e P il predicato, premesse e conclusione possono essere soltanto di quattro forme: «Ogni S è P», forma universale affermativa; «Nessun S è P», universale negativa; «Qualche S è P», particolare affermativa; «Qualche S non è P», particolare negativa. Queste forme sono indicate rispettivamente dalle lettere A, E, I, O. Se il soggetto è un termine singolare basta cancellare, nelle forme I e O, «qualche» e, nelle altre due forme, «ogni». Un’inferenza sillogistica sarà valida se e solo se non si dà che le premesse siano entrambe vere e la conclusione falsa, e sarà invalida altrimenti. Queste restrizioni non sono sufficienti per definire con chiarezza la nozione di sillogismo e, soprattutto, di modo sillogistico. Occorre infatti aggiungere le seguenti restrizioni: (3) nell’inferenza, come soggetto o predicato, figurano esattamente tre termini: S, M, P, detti rispettivamente minore, medio, maggiore, il medio e il maggiore nella prima premessa, detta premessa maggiore, il medio e il minore nella seconda premessa, detta premessa minore, il maggiore e il minore nella conclusione; (4) nella conclusione il soggetto può essere soltanto il termine minore, e il predicato può essere soltanto il termine maggiore. Si può ora definire sillogismo qualsiasi terna ordinata di proposizioni (nell’ordine: premessa maggiore, premessa minore, conclusione), con le restrizioni indicate. È d’altra parte evidente l’importanza di distinguere i sillogismi validi da quelli che tali non sono. Per questo è essenziale la nozione di modo sillogistico. Per definirla, occorre osservare che, essendo fissato l’ordine dei due termini nella conclusione, esistono solo quattro possibilità di permutazione dei due termini di ciascuna delle due premesse: il termine medio fa da soggetto solo nella premessa maggiore (sillogismi di prima figura), oppure fa da predicato in entrambe le premesse (sillogismi di seconda figura), oppure fa da soggetto in entrambe le premesse (sillogismi di terza figura), o infine fa da soggetto soltanto nella premessa minore (sillogismi di quarta figura). Poiché esistono quattro forme A, E, I, O, vi sono 4³=64 combinazioni di lettere e quindi esistono 4×64=256 schemi o ‘modi’ sillogistici possibili. Soltanto ventiquattro di essi sono validi, sei per ognuna delle quattro figure. La tabella ne riporta le denominazioni medievali che hanno anche una funzione mnemonica.

La sillogistica come teoria assiomatizzata

Nel quadro della logica formale moderna, la s. può essere formulata come teoria assiomatizzata, in un opportuno linguaggio formalizzato (per es., nel linguaggio del primo ordine), nel quale le forme A, E, I, O non sono considerate come tipi di proposizioni ma come relazioni fra i sottoinsiemi non vuoti di un insieme non vuoto. Questa interpretazione è connessa, fra l’altro, con l’assunzione, tacita o esplicita, che in un sillogismo nessun termine sia vuoto, privo di riferimento. Nella teoria formale moderna si assume esplicitamente, per non invalidare i modi corrispondenti, che non siano vuoti il termine minore in barbari, celaront, camestros e calemos, il medio in darapti, felapton e fesapo, il maggiore in bamalip (ma l’assunzione rimane implicita se il termine è singolare, come può accadere in darapti e felapton, a meno di non usare le cosiddette logiche libere). Per qualsiasi esemplificazione del soggetto e del predicato, le proprietà fondamentali di A, E, I, O possono essere rappresentate diagrammaticamente nel cosiddetto quadrato di opposizione e si riducono alla contraddittorietà di A e O (ogni volta che A è vera, O è falsa, e viceversa) e di I ed E, alla contrarietà di A ed E (ogni volta che A è vera, E è falsa, ma non viceversa, cioè se A è falsa anche E lo è), alla subcontrarietà di I e O (almeno una di esse è sempre vera), all’implicazione di I da parte di A (e di O da parte di E). Nel caso della contrarietà e della subcontrarietà occorre almeno assumere che il termine generale che fa da soggetto non sia vuoto. Le regole di obversione facilitano la riduzione dei modi validi al solo barbara, cioè la derivazione, dall’assunzione di validità di barbara, della validità degli altri 23 modi sopra menzionati. Denominati distribuiti i soggetti delle proposizioni universali e i predicati delle proposizioni negative e non distribuiti i soggetti delle particolari e i predicati delle affermative, è facile dimostrare la correttezza delle due regole di qualità (‘Se un modo è valido, allora la sua conclusione è negativa se e solo se è tale almeno una delle sue premesse’ e ‘Ogni modo, se ha entrambe le premesse negative, è invalido’) e delle due regole di quantità (‘Se un modo è valido, nessun termine è distribuito nella conclusione se non lo è anche nella premessa in cui compare’, e ‘Se un modo è valido, il medio è distribuito almeno una volta’); queste quattro regole bastano per dimostrare la validità di 24 modi su 256. Poiché si dicono categoriche le proposizioni della forma tradizionale soggetto-predicato, categorico è il sillogismo come qui è stato definito. Inoltre, anche se non costituisce oggetto della s. in senso proprio, sono talvolta chiamate sillogismo ipotetico ciascuna delle due regole di deduzione note come modus (ponendo) ponens e modus (tollendo) tollens (➔), e sillogismo disgiuntivo ciascuna delle due regole di deduzione note come modus tollendo ponens (➔) e modus ponendo tollens. Poiché la sostituzione di una forma I a una forma A, o di una forma O a una forma E, detta subalternazione, è considerata un indebolimento o perdita di generalità, i cinque modi barbari, celaront, cesaro, camestros, calemos si dicono deboli. Infine, nella logica tradizionale, i modi della IV figura con l’ordine delle premesse invertito hanno i seguenti nomi: baralipton, celantos, dabitis, fepesmo, frisesomorum, celantos (o celantop); ciò perché questi ultimi possono anche ottenersi quali modi indiretti della prima figura eliminando la restrizione che impone che il predicato della conclusione sia solo il termine maggiore e invertendo quindi l’ordine dei termini nella conclusione dei modi della prima figura.

La sillogistica aristotelica

Un quadro esauriente della storia della s., dalle sue origini aristoteliche fino alla codificazione manualistica del 19° sec., è ben lungi dall’essere disponibile per la mancanza di edizioni moderne di una larga parte dei testi medievali. È invece migliore la conoscenza che abbiamo della s. aristotelica. Le proprietà delle forme A, E, I, O, o almeno alcune delle relazioni logiche fra tali forme, quali la contrarietà e la contraddittorietà, sono menzionate da Aristotele nel De interpretatione (e rappresentate per la prima volta graficamente nel De philosophia rationali dello pseudo-Apuleio). Negli Analytica priora (I, 24 b 18 segg.) si definisce il sillogismo come un discorso in cui, assunte talune cose, altre ne derivano di necessità; più oltre sono enunciate le leggi di conversione in forma condizionale e per mezzo di variabili. Segue l’enunciazione dei modi validi (a eccezione dei modi deboli) delle prime tre figure (anche se non sembra che Aristotele distinguesse una quarta figura, i cinque modi indiretti non deboli sono esplicitamente menzionati in 53ª8-12, 29ª 19-23), nell’ordine che si ha leggendo i primi quattordici modi non deboli nella tabella dall’alto in basso e da sinistra a destra (I, 25 b 37- 28 b 33 segg.) Il rigetto di alcuni modi invalidi avviene per mezzo di controesempi. Per la validazione dei modi Aristotele fa uso di tre metodi: quello per ἔκϑεσις, cioè per esemplificazione (per es., per la validazione di darapti) mediante scelta non ad hoc; quello per riduzione indiretta, cioè per riduzione all’assurdo dell’assunzione di invalidità, e quello di riduzione diretta di un modo a un altro. In questo modo cesare e camestres vengono ridotti direttamente a celarent; festino, felapton e ferison a ferio; darapti, disamis e darisi a darii; barocco e bocardo vengono ridotti indirettamente a barbara, e festino a celarent. Mostrando poi che tutti i modi della seconda figura sono riducibili a barbara e celarent e che darii e ferio sono riducibili a modi di seconda figura, Aristotele dimostra infine che tutti gli altri dodici modi sono riducibili a barbara e celarent, barbara è riducibile indirettamente a baroco o a bocardo, e celarent a festino o a disamis. Questi risultati d’interderivabilità basterebbero, da soli, a mostrare l’importanza e, per certi aspetti, la modernità della teoria aristotelica del sillogismo categorico (la pretesa deducibilità dei modi validi della prima figura da principi più fondamentali, per es., il «dictum de omni» di Analytica priora, I, 24 b 26-30, e il «nota notae nota rei» di Categorie, 1 b 10-15, è un errore logico circoscritto). Aristotele tratta anche estesamente del sillogismo modale, cioè della validità o meno dei modi sillogistici in cui compaiono qualificazioni modali (possibilità, necessità, ecc.) in almeno una delle premesse.

La sillogistica dopo Aristotele

Nel periodo che va da Teofrasto fino al 6° sec. d.C. e oltre non vi sono contributi di rilievo alla dottrina del sillogismo, se non di carattere meramente manualistico (Boezio, Marziano Capella), anche perché l’apporto rilevante della logica stoica non investe la s. in senso proprio. Per quanto riguarda la s. medievale occorre anzitutto ricordare l’introduzione delle prime espressioni mnemoniche per indicare i modi validi. Per ciò che concerne la s., il periodo che va all’incirca dalla metà del 13° sec. alla metà del secolo successivo, caratterizzato dall’influenza diretta degli Analytica aristotelici, dei commenti di Averroè e delle opere di Avicenna, e non soltanto del corpus boeziano, è probabilmente quello più fecondo e interessante. Come esempi, nella scolastica matura e in quella più tarda, dell’applicazione alla s. aristotelica di metodi e risultati della cosiddetta logica moderna, basterà ricordare, nelle Quaestiones super librum I Analyticorum priorum del cosiddetto pseudo-Scoto, una prima enunciazione delle regole di quantità del sillogismo categorico e, sulla base della distinzione fra sensus compositus (o modalità de dicto) e sensus divisus (o modalità de re), un’analisi sottile e profonda degli aspetti tradizionalmente più controversi della s. modale aristotelica (per es., q. 7, 5 e q. 28). Inoltre, data la sua importanza, per la s. modale va menzionato almeno il complesso sistema della Summa totius logicae ad Adamum di Guglielmo di Occam (pubblicata a Parigi soltanto nel 1488), con cinque tipi di qualificazioni modali e con la possibilità di assumere una premessa in sensu composito e l’altra in sensu diviso, il che implica l’analisi di poco meno di mille modi sillogistici validi. Né si possono dimenticare, infine, i contributi più o meno diretti portati alla s. da Alberto Magno e da Tommaso d’Aquino e, in certo senso a conclusione di un’epoca, la Logica magna di Paolo Nicoletti, noto come Paolo Veneto (pubblicata a Venezia nel 1499, ventiquattro anni dopo la morte dell’autore). Di assai minore importanza sono gli sviluppi della s. dalla tarda scolastica al 21° sec.: il quadro che della s. categorica è dato in un’opera giovanile di Leibniz, la Dissertatio de arte combinatoria (1666), non differisce troppo da quello della manualistica tardo-ottocentesca (si veda, per es., la 1^a ed., del 1887, della Formal logic di J.N. Keynes). In questo pur così lungo periodo si trovano, semmai, dei contributi che, privi d’interesse per la storia della s., hanno importanza per la storia della filosofia della logica, come il Von der falschen Spitzfindingkeit der vier syllogistischen Figuren (1762) di Kant o certe pagine di Sistema di logica deduttiva e induttiva (1843) di J. Stuart Mill. Infine, nel 1847 (anno di pubblicazione di The mathematical analysis of logic di G. Boole), può porsi l’inizio di un processo di progressiva incorporazione e ‘traduzione’ della s. tradizionale nella logica matematica.