SIMMETRIA

SIMMETRIA (gr. συμμετρία)

Architettura. - I Latini nel linguaggio architettonico hanno tradotto la parola greca con la voce proportio, divenuta poi di uso generale in italiano (come in francese), per esprimere non già un rapporto qualunque tra le misure di due oggetti, bensì un sistema di correlazione, mediante il quale una parte sola indica la misura del tutto, come il tutto indica la misura di ciascuna parte (v. proporzione). La parola proporzione essendo prevalsa su quella di simmetria, quest'ultima voce, secondo l'uso del linguaggio comune, rimase circoscritta a significare solamente il rapporto di un'esatta conformità ira due misure, due oggetti qualunque, due fabbricati, due corpi di uno stesso edificio che si fanno riscontro perfetto. Armonia di misure, dunque, e non similitudine o ripetizione di parti e parallelismo di due metà; concetto cioè assai più atto di quello odierno a passare, come in realtà lo fu, da un valore strettamente matematico, a un più ampio significato estetico.

Simmetria è infatti, con l'ordinazione, disposizione, euritmia, decoro, distribuzione, una delle sei categorie nelle quali si riassume fondamentalmente tutta l'estetica vitruviana, la quale si rifà al sistema che teneva il campo nell'età alessandrina e che probabilmente può essere individuato in Agesistratos; estetica che, dominata dal concetto della triade, della doppia triade e della decade, ha stretta analogia con le dottrine stoiche di Posidonio. La definizione della simmetria data da Vitnuvio (Libro I, cap. 2) è: "Item symmetria est ex ipsius operis membris conveniens consensus ex partibusque separatis ad universae figurae speciem ratae partis responsus. Uti in hominis corpore e cubito, pede, palmo, digito, ceterisque particulis symmetria est eurythmiae qualitas, sic est in operum perfectionibus". Questa definizione, alquanto oscura (ciò è dovuto al fatto che andò perduta la documentazione grafica che accompagnava l'opera di Vitruvio), nelle diverse traduzioni e interpretazioni è stata spesso confusa ora con l'euritmia, ora con la proporzione, ma il suo concetto può essere fondamentalmente esteso come il disciplinato accordo fra le singole parti di un'opera nel senso di una rispondenza delle misure fra di esse e col tutto. L'euritmia si fonda sul ritmo, la simmetria sulla misura; ma mentre la proporzione dà il rapporto di grandezza di una parte con l'altra, la simmetria è rappresentata dai rapporti di misura che legano tutte le parti sulla base di una unità fondamentale. Questo concetto, chiarito anche dalle considerazioni che Vitruvio fa sulla simmetria (III, 1; "aedium compositio constat ex symmetria, cuius rationem diligentissime architecti tenere debent. Ea autem paritur a proportione, quae graece λογία dicitur"), è avvalorato dalla comparazione che egli fa tra le proporzioni dell'uomo e quelle dell'architettura, le quali tutte si regolano sopra una misura comune chiamata "modulo". Questo sistema modulare, che, partendo da un rapporto di proporzione, giungeva alla "simmetria" di tutte le parti di un'opera, costituiva la chiave di quello che i Greci chiamavano "canone"; canone che dominava nell'architettura come nella statuaria, e che a partire dal secolo IV a. C. fu variamente sviluppato nei trattati dottrinali degli scrittori greci e romani. Se questo concetto di simmetria appare spesso poco chiaro e se esso non bene si distingue da altri concetti di euritmia, proporzione, ecc., ciò deriva dal fatto che tale formula era in sostanza, come in altri casi - per es., in Plinio per la linea - la trasposizione in termini o funzioni matematiche di concetti estetici che dominano gran parte della speculazione antica sull'arte e sulla bellezza. Troviamo infatti, esaminando le definizioni vitruviane, una continua interdipendenza nei concetti di symmetria, proportio, commisuratio, ecc., originata appunto dalla commistione di concetti matematici ed estetici, per modo che, per es., per spiegare la funzionalità artistica della simmetria matematicamente determinata, si ricorre a concetti di proporzione, euritmia, di natura più propriamente estetica. Acquistando dunque il concetto un ampio valore estetico e venendo a coincidere quasi col principio assoluto di armonia generatore di ogni opera d'arte, è chiaro che è stato possibile estendere la ricerca e la verifica di tale principio alle più varie reclinazioni artistiche, non solo nell'antichità classica e nel Rinascimento - che è con quella in rapporto di stretta dipendenza - ma anche in espressioni artistiche che, come quella del gotico, attuano una visione lontanissima da quella classica. Così nell'architettura gotica l'ogiva diventa generatrice di un sistema strutturale e perciò di simmetria, come per i Greci la colonna è punto di partenza della simmetria del monumento. Per i Greci il punto d'appoggio verticale è il principio; nel Medioevo è la vòlta; è essa che impone i punti d'appoggio, la loro forza, la loro sezione. L'architettura medievale non concepisce il suo piano per la base, ma per la vòlta che comanda la simmetria di tutte le parti e la posizione e la forza di questa base. Per il Viollet-le-Duc, la vòlta, l'ogiva, elemento generatore di tutto un sistema di strutture, comanda la simmetria di tutte le parti. Si vede dunque che lo stesso principio viene invocato per spiegare opere d'arte in un mondo artistico opposto a quello classico. Sempre del resto, quando si consideri più da vicino la fortuna storica della parola, è da avvertire che ogni cultura artistica che fece propria la definizione vitruviana la colorì volta per volta delle tendenze proprie originali, deformandone sostanzialmente il significato e l'accento. Spesso gli stessi concetti, ripresi dalla tradizione, magari con le stesse parole, rappresentavano un mondo formale diverso e magari opposto a quello classico vitruviano, anche nell'Alberti, che pur sembra più strettamente attenersi alle norme classiche.

La simmetria, intesa nel senso che si dà generalmente alla parola, cioè di rispondenza speculare di parti rispetto a un asse o a un centro, è elemento di primissimo ordine in architettura. Principio assoluto per l'arte classica, esso viene tramandato attraverso il Medioevo che, pure prediligendo forme asimmetriche più ricche di movimento e di senso pittorico, ci ha lasciato esempî bellissimi di architettura simmetrica, usata soprattutto quando si vuol dare più grandiosità all'edificio e quindi specialmente per l'architettura religiosa. Nel Rinascimento, con lo studio del classico, si torna a prediligere le semplici forme geometriche schiettamente simmetriche e la simmetria, canone assoluto dettato in tutti i trattati, domina attraverso i secoli seguenti. In tutto il grande fiorire dell'architettura barocca, pure così originale e ricca di innovazioni, è sempre la simmetria che dà il carattere; e anche artisti quali un Bernini o un Borromini, la cui arte può sembrare a osservatori superficiali non ligia alle regole canoniche, basavano su di essa le loro personalissime attuazioni artistiche. E in questo periodo l'amore per la simmetria è tale che, quando per ragioni di spazio o esigenze di pianta, essa non può venire applicata, si ricorre ad accorgimenti, quali giuochi di masse, finte prospettive o altri, medianti i quali si riusciva ad avere un effetto di falsa simmetria che mascherava la reale asimmetria.

Nel periodo neoclassico la simmetria è la legge per eccellenza; ma lo studio del classico, a differenza dal Rinascimento, è ora solamente inteso, a parte rare eccezioni, come fredda imitazione; e questo accademismo genera per reazione il movimento romantico che, nato nel Settentrione, si propagò facilmente accompagnandosi alle nuove tendenze politiche.

Questo contrasto di classico e di romantico, di simmetria e di asimmetria, si ritrova in modo particolare nell'architettura del giardino; nel giardino italiano (da cui poi nei secoli XVI e XVII, salvo lievi adattamenti dovuti alla diversità della natura del terreno, derivò il giardino francese) ogni collocazione di motivi è sottoposta a strette regole di simmetria: rigide scacchiere di viali spartenti aiuole regolari, alberi guidati e tagliati ridotti architettonicamente a forme geometriche, giuochi di masse ottenuti alternando viali e boschetti, così come in architettura si giuoca con i vuoti e con i pieni. Già dalla metà del sec. XVII nasce una reazione contro quest'arte che appunto perché troppo "arte" violenta la natura; per opera specialmente dell'inglese William Kent (1684-1748) alla concezione architettonica si viene a sostituire la pittorica in senso strettamente paesaggistico; è questo il giardino detto appunto "all'inglese", imitante la natura e la cui voga fu aiutata dal dilagare delle idee romantiche e rousseauiane.

V. tavv. CLV e CLVI.

Bibl.: M. Borissavlievitch, Les théories de l'architecture, Parigi 1926; Diels, in Neue Jahrb., 1914, p. 7 segg.; Jolles, Vitruvs Aesthetik, Friburgo 1906; Pellati, Vitruvio e la fortuna del suo trattato nel mondo antico, in Rivista di filologia e istruzione classica, XLIX, 3, pagine 316-318; Quatremère de Quincy, Dizionario storico, trad. Mainardi, 1844; Thiersch, Die Proportionem in d. Architektur, in Handb. d. Arch., IV; E. Viollet-le-Duc, Dictionnaire raisonné de l'architecture française; Walter, Geschichte der Aesthetik im Altertum, Lipsia 1893; L. Dami, Il giardino italiano, Milano-Roma.

Biologia.

Zoologia. - Il corpo degli esseri organizzati, pur nella grandissima varietà delle loro forme specifiche, è costituito per lo più secondo alcuni modelli geometrici fondamentali, che, analogamente a quanto si fa per i cristalli, e altri corpi solidi inorganici, si possono classificare riferendoli a sistemi coordinati di assi e di piani.

Sono rari gli animali che non hanno forma fissa e costante e possono dirsi perciò interamente privi di qualsiasi simmetria (varî Protozoi come le Amebe, varie Spugne, e alcuni Metazoi, specialmente quelli la cuì forma è fortemente alterata da particolari condizioni di vita, come il parassitismo, ecc.). Per lo più gli animali sono costruiti secondo tipi di simmetria ben definiti, che sono già stati analizzati alla voce forma: simmetria sferica, simmetria radiale o raggiata o actinomorfa, simmetria biradiata, simmetria bilaterale.

Nella simmetria sferica tutti i diametri della sfera sono assi di simmetria e tutti i piani passanti per il centro piani di simmetria, che dividono cioè il corpo in due metà simmetriche, come un corpo solido e la sua immagine riflessa da uno specchio. Non sempre però queste condizioni geometriche sono rigorosamente soddisfatte, talvolta possono esistere, lungo alcuni degli assi, dei differenziamenti più o meno pronunciati, che alterano la forma sferica perfetta; l'esempio più tipico di questa classe di simmetria ci è fornito da alcuni Protozoi, specialmente dai Radiolarî (v.). Nella simmetria radiale, simile a quella che presenta una ruota a raggi, v'è un asse principale, l'asse della ruota, che per lo più è eteropolare, cioè a poli non equivalenti; tutti i piani che passano per questo asse sono piani di simmetria, ma si possono distinguere di solito dei piani principali (perradî) e altri secondarî (interradî, adradî); tipico esempio di questa classe di simmetria è fornito dai Celenterati (v.), e specialmente dalle meduse. La simmetria biradiale o biradiata è una simmetria raggiata in cui però due soli dei piani che passano per l'asse principale dividono il corpo simmetricamente; l'esempio tipico è fornito da alcuni Celenterati (Antozoi [v.]). La simmetria bilaterale, secondo la quale sono costruiti la massima parte degli animali, comporta un solo piano di simmetria, che passa per l'asse principale del corpo (nei Vertebrati l'asse oro-aborale) e che è eteropolare; oltre a questo si distinguono l'asse perlaterale, omopolare, cioè a estremi equivalenti, e l'asse dorso-ventrale, eteropolare.

Il piano di simmetria, nella simmetria bilaterale, si chiama anche piano mediano, o sagittale; quelli che gli sono paralleli, piani mediali, di destra o di sinistra. I piani paralleli al piano in cui giacciono l'asse oro-aborale e quello perlaterale si dicono piani frontali; quelli paralleli al piano in cui giacciono l'asse perlaterale e quello dorso-ventrale si dicono piani trasversali.

Le asimmetrie. - Per il significato dinamico e delle possibili interpretazioni sull'origine di questi varî tipi di simmetria, v. forma. Conviene qui considerare le variazioni che s'incontrano dal tipo fondamentale di simmetria proprio di ogni specie animale. Si può dire, in generale, che il concetto di simmetria è un'astrazione, di cui invano si cercherebbe la perfetta realizzazionenegl'individui organizzati; rari infatti sono i casi di organismi perfettamente simmetrici, e di gran lunga più frequenti quelli in cui v'è un'asimmetria più o meno evidente, che interessa spesso profondamente la struttura del corpo. Basta considerare il corpo umano per persuadersi che la simmetria bilaterale è piuttosto un'apparenza esterna che non una realtà anatomica: accanto a visceri o sistemi quasi perfettamente simmetrici, come lo scheletro, i sistemi muscolare, nervoso, respiratorio, urogenitale, ecc., ve ne sono di profondamente asimmetrici, come il sistema circolatorio (cuore), il sistema digerente (stomaco, intestino) e le ghiandole annesse (pancreas, fegato), ecc. Queste asimmetrie, o dissimetrie, come alcuni preferiscono chiamarle, sono sempre presenti, e non occasionali, come invece altre minori differenze, fra la metà destra e la sinistra, che sono soggette alla variabilità individuale. Non meno profonde delle differenze morfologiche sono quelle fisiologiche fra la metà destra e la sinistra, e spesso, sotto altra forma, si riscontrano anche in altri Mammiferi. Condizioni morfologiche analoghe a quelle sopraddette, del resto, si verificano in quasi tutti i Vertebrati. Ricordiamo soltanto, a titolo di esempio, la profonda asimmetria del corpo dei Pleuronettidi (v.) e del cranio dei Cetacei (v.).

Negli animali di altre classi sono spesso riconoscibili asimmetrie più o meno considerevoli e costanti, sia morfologiche, sia anche fisiologiche. Nei Protozoi a corpo simmetrico, spesso l'asimmetria si palesa dal senso della rotazione intorno al proprio asse principale durante la locomozione che, per ogni individuo, è costante. Molti poi presentano nette dissimmetrie morfologiche. In alcune specie di granchi le due chele assumono uno sviluppo molto ineguale; nei paguri l'addome è quasi sempre profondamente asimmetrico; in molti Copepodi una delle antenne è più sviluppata e diversa dall'altra, ecc. Gli esempî si potrebbero moltiplicare, ma basterà qui ricordare che la condizione estrema di asimmetria si ha forse in quei Gasteropodi, come le chiocciole, in cui buona parte del corpo è avvolta a spira, e gli organi di un lato sono generalmente rudimentali o assenti. A completare questa breve esemplificazione ricorderemo che alcuni autori propongono di distinguere le dissimmetrie, cioè le asimmetrie secondarie originatesi in corpi primitivamente asimmetrici per riduzione degli organi di un lato, o per spostamento degli organi impari; e le asimmetrie, primarie, che possono essere prodotte da torsione del corpo, o meno. Tale classificazione sembra però alquanto arbitraria, e conviene limitarsi a distinguere le asimmetrie morfologiche da quelle fisiologiche, pure assai diffuse fra gli animali.

Circa l'origine e le cause di queste asimmetrie così tipiche e costanti in molti organismi, non si sa molto. Non di rado è possibile vedere, seguendo lo sviluppo embrionale, che l'asimmetria si origina in un corpo primitivamente simmetrico, e si assiste alla riduzione o alla scomparsa di uno dei due abbozzi di un organo pari, (esempio, l'ovario destro degli uccelli) mentre l'altro si sviluppa maggiormente, o allo spostamento laterale di organi impari, che prima avevano posizione mediana. Oppure, come nei Gasteropodi, si osserva la graduale torsione di una parte del corpo, con conseguenti fenomeni di atrofia o scomparsa degli organi di un lato, mentre avviene il totale spostamento degli altri al lato opposto.

Si è cercato di dar ragione di tutti questi processi con interpretazioni per lo più meccaniche, e filogenetiche a un tempo, considerando le relazioni di spazio che si vengono a stabilire con lo sviluppo in dimensione degli organi che devono trovar posto in una cavità di un dato volume, ecc. Certo si è che l'asimmetria è tipica e costante per ogni specie: nell'uomo, ad es., il cuore è sempre un po' spostato a sinistra, il fegato è a destra, la milza a sinistra, ecc., e i casi d'inversione di questi rapporti sono assai rari (v. situs inversus). Nei Gasteropodi il sacco dei visceri e la conchiglia sono per lo più destrorsi, in qualche specie normalmente sinistrorsi; ma non di rado s'incontrano casi d'individui che presentano una torsione opposta alla normale. Recentemente è stato studiato il modo di trasmissione ereditaria di questi caratteri, e si è visto che vi può essere un'inversione del normale senso di torsione semplicemente fenotipica, cioè non trasmissibile ai discendenti, e inoltre un'inversione ereditaria, che si trasmette secondo le leggi di Mendel; in tal caso l'inversione è recessiva rispetto al normale senso della torsione.

Che il tipo di asimmetria caratteristico di una data specie sia profondamente inscritto nel plasma germinale, lo dimostrano la sua costanza, e il fatto che spesso è in relazione con il modo di segmentazione dell'uovo. Nei Molluschi, ad es., dove la segmentazione è di tipo spirale (v. embriologia), si è potuto constatare che lo stesso senso della torsione che si riscontra nei blastomeri si ritrova poi nella torsione del sacco dei visceri. Lo stesso avviene nell'Ascaris (Nematelminti), in cui l'asimmetria dell'adulto è in relazione con il modo di segmentazione. Per quanto riguarda i Vertebrati, si deve ricordare innanzi tutto il fatto ormai bene accertato che i gemelli monocoriali sono molto più perfettamente simmetrici (cioè le due metà di ciascun individuo sono molto più simili fra di loro) che non gl'individui normali. Si sa inoltre che negli embrioni gemelli di Anfibî ottenuti sperimentalmente per divisione in due di una blastula o di una giovane gastrula, si ottiene una forte percentuale di situs inversus negli embrioni provenienti dalla metà destra, mentre quelli della metà sinistra sono tutti normali. Di questi fatti non è facile dare una spiegazione, ma tutti dimostrano che le asimmetrie devono dipendere da cause che agiscono molto precocemente durante lo sviluppo embrionale.

Bibl.: W. Ludwig, Das Rechts-Links-Problem im Tierreich und beim Menschen, Berlino 1932.

Botanica. - A seconda della forma dei vegetali, della posizione delle membra e dei loro diversi organi vi può essere nelle piante simmetria o asimmetria. Gli organi conici o cilindrici o disposti radialmente intorno a un asse presentano generalmente simmetria radiale o multilaterale o actinomorfa. Così i cauli e le radici (tranne il caso in cui sono appiattiti o nastriformi) hanno simmetria raggiata, anche moltissime infiorescenze presentano tale simmetria che si osserva in quei fiori che comunemente vengono detti regolari.

Però, in rapporto con speciali condizioni ecologiche, la simmetria fiorale può modificarsi e i fiori possono divenire monosimmetrici o zigomorfi. In tal caso se il piano di simmetria fiorale coincide con quello che passa per l'asse del fiore e del fusto che lo porta, lo zigomorfismo è mediano, se i due piani invece formano fra loro un angolo acuto si ha zigomorfismo obliquo, se invece si tagliano all'incirca ad angolo retto lo zigomorfismo è trasversale. Dalla simmetria zigomorfa i fiori possono - in via anormale - tornare alla simmetria raggiata con la peloria (v.): nei fiori di Dicentra, Papaveracea del gruppo delle Fumarioidee, si ha una simmetria doppia o doppio zigomorfismo. I fiori di molte Valerianacee, di molte Scitaminee, ecc., sono invece asimmetrici.

Nelle foglie laminari (perché in quelle prismatiche si ha simmetria raggiata) vi è simmetria bilaterale accompagnata spesso dalla dorsoventralità: però negli olmi, nei tigli, nelle begonie le foglie sono asimmetriche. Può avvenire che in taluni rami di piante, come ad es., nel faggio, mentre la foglia terminale è simmetrica quelle laterali sono asimmetriche. Lo stesso si osserva nelle foglioline delle foglie composte: nelle foglie trifoliolate del fagiolo mentre la fogliolina terminale è simmetrica, le due laterali sono asimmetriche; così pure nelle foglie pure ternate della fragola e in quelle di parecchie Ombrellifere. Anche nelle ombrelle composte di molte Ombrellifere spesso avviene che, mentre l'ombrelletta centrale è simmetrica, le laterali sono asimmetriche.

Nei rizomi, che sono organi cilindrici, ma che presentano la dorsoventralità, la simmetria è zigomorfa.

Fisica.

Vi sono moltissimi casi in cui, dato un certo sistema di corpi in determinate condizioni fisiche, si può asserire a priori che in esso non può verificarsi un dato fenomeno, e ciò per "ragioni di simmetria". Spieghiamoci con un esempio semplicissimo: se si scalda uniformemente una bacchetta omogenea di ferro, si può affermare senz'altro che è impossibile che il riscaldamento produca una differenza di potenziale tra i suoi estremi, perché, essendo questi nelle identiche condizioni, non vi è ragione perché uno debba diventare positivo e l'altro negativo. Si può anche ragionare così (tale ragionamento, che in questo caso è superfluo, può servire di modello in casi più complicati): supponiamo che col riscaldamento l'estremo A divenga positivo rispetto all'estremo B: ruotiamo la bacchetta di 180° in modo che i due estremi si scambino di posto: siccome essa si presenta esattamente come prima, dovrà ora l'estremo B, che ha preso il posto di A, diventare positivo col riscaldamento; ma d'altra parte si è supposto che la differenza di potenziale nasca solo per effetto di temperatura e non per l'azione dei corpi circostanti, quindi essa non può invertirsi per un cambiamento di posizione della bacchetta. Considerazioni di questo genere hanno una importanza grandissima in tutti i campi della fisica: esse sono state studiate sistematicamente da P. Curie, il quale ha esteso al campo fisico, sviluppandole, le nozioni di simmetria già applicate su vasta scala nel campo puramente geometrico e cristallografico, enunciando alcune regole che rendono automatico il ragionamento anche nei casi più complicati. Accenneremo brevemente alle idee fondamentali di questa teoria, considerando solo i sistemi limitati.

Una retta è, per un sistema, un "asse di simmetria" (o "di ripetizione") d'ordine q (q, numero intero) se, ruotando il sistema intorno a questa retta di un angolo multiplo di 360°/q, ogni punto e ogni retta del sistema vanno a occupare il posto di un altro punto e di un'altra retta a essi identici per tutte le proprietà fisiche e geometriche, cosicché vi sono q posizioni del sistema fisicamente e geometricamente indistinguibili. Esempio geometrico: l'asse di una piramide esagonale è un asse di simmetria d'ordine 6. Un asse può essere d'ordine ∞, come l'asse del cono circolare. Se poi le due direzioni dell'asse sono equivalenti (cioè se esiste un asse di simmetria d'ordine pari perpendicolare all'asse in questione) quest'ultimo dicesi "doppio": p. es., l'asse (principale) di un prisma regolare è doppio, l'asse di una piramide no. Un piano si dice "piano di simmetria" per un sistema se il sistema rimane invariato nelle sue proprietà geometriche e fisiche scambiando ogni suo punto con quello simmetrico rispetto al piano dato, e ogni direzione con la direzione simmetrica rispetto al piano dato. Queste due "operazioni di ricoprimento" (rotazione intorno a un asse, e riflessione rispetto a un piano) sono le fondamentali: combinandone insieme due o più si formano operazioni di ricoprimento più complicate, che dànno luogo alla definizione di altrettanti tipi di simmetria quando il sistema rimane invariato per tali operazioni.

Per es., se esso resta invariato per una riflessione rispetto a un piano P seguita da una rotazione di 180° intorno a un asse l normale a P, si dice che esso ha un "centro di simmetria" nel punto d'intersezione di l con P. Vi sono notevoli teoremi che stabiliscono relazioni tra i varî "elementi di simmetria" (assi, piani, centri) che possono o debbono coesistere in un sistema: il loro studio sistematico si può fare nel modo più completo coi metodi della teoria dei gruppi (v.). I varî tipi di simmetria che si possono presentare in un sistema limitato si riuniscono in 19 famiglie, raggruppate in 7 classi. Va messo in evidenza che nel determinare gli elementi di simmetria si deve tener conto non solo della forma geometrica ma di tutte le proprietà fisiche (proprietà ottiche, elastiche, ecc.): p. es., una sfera di rame ha un centro di simmetria, e ogni retta per esso è un asse d'ordine ∞; se invece la sfera è tagliata da un cristallo di quarzo, il suo centro di figura non è più centro di simmetria, e per esso passa soltanto un asse doppio d'ordine 3 e sei assi, normali a esso, d'ordine 2, come risulta, p. es., dalle proprietà ottiche. Molte volte però è comodo riassumere gli elementi di simmetria di un sistema fisico o di una sua parte, indicando una semplice figura geometrica (eventualmente in movimento) che abbia la stessa simmetria. Così diremo, p. es., che una forza (applicata a un punto dato) ha la simmetria di un tronco di cono; invece il momento di una coppia ha la simmetria di un cilindro rotante: difatti un piano passante per il vettore è piano di simmetria nel primo caso, non lo è nel secondo, e viceversa per un piano normale al vettore. I vettori del primo tipo di simmetria si dicono assiali (altri esempî: campo elettrico, polarizzazione dielettrica), quelli del secondo polari (altri esempî: campo magnetico, polarizzazione magnetica); la rappresentazione di un vettore polare mediante una freccia, come si fa di solito, è poco opportuna perché non mette in evidenza la simmetria rispetto al piano normale al vettore (il senso della freccia risulta infatti da una convenzione del tutto arbitraria, come la regola del cavaturaccioli o quella della mano destra).

L'interesse pratico delle considerazioni sulla simmetria fisica sta essenzialmente nel principio seguente, enunciato dal Curie: "gli elementi di simmetria delle cause devono ritrovarsi nei loro effetti", intendendosi per elementi di simmetria delle cause quelli comuni a tutte: sovrapponendosi più cause, si sommano, per così dire, le loro dissimmetrie. Se dunque un fenomeno presenta una certa dissimmetria (cioè manca in esso un elemento di simmetria), la stessa dissimmetria si deve trovare in una almeno delle circostanze determinanti il fenomeno. Questo principio consente di escludere la possibilità di un dato fenomeno, quando il sistema ha certi elementi di simmetria; viceversa però non è possibile asserire che un dato fenomeno si produrrà solo perché mancano nel sistema gli elementi di simmetria che potrebbero impedirlo. Per es., dagli elementi di simmetria del campo elettrico e magnetico, descritti sopra, si ricava che un campo elettrico, in un mezzo isotropo o nel vuoto, non può far ruotare il piano di polarizzazione della luce, mentre un campo magnetico può farlo: quest'ultimo fenomeno, difatti, avviene effettivamente in molte sostanze (non però nel vuoto, sebbene la simmetria lo consenta). Apparenti eccezioni al principio di simmetria si hanno in certi casi di "instabilità": p. es., un bastone appoggiato verticalmente su un piano orizzontale cade da una parte, sebbene, apparentemente, l'asse del bastone sia un asse di simmetria (d'ordine ∞) per tutti i dati del problema: il paradosso, come è chiaro, proviene dal fatto che nell'enunciare questi dati se ne trascurano alcuni (p. es., correnti d'aria, tremolii, ecc.) che, sebbene quantitativamente trascurabili, apportano la dissimmetria necessaria alla produzione del fenomeno. Analoghe considerazioni si possono fare per il vortice che si produce quando si apre un foro nel fondo di un serbatoio d'acqua. In ogni caso, il principio di simmetria è in fisica di grande importanza, da un lato perché consente di evitare inutili ricerche di fenomeni impossibili, dall'altro perché, quando un fenomeno sia sperimentalmente constatato, il principio è di guida nello studio delle circostanze che lo determinano.

Bibl.: P. Curie, Øuvres, Parigi 1908; o anche: Bull. de la Soc. Minéralogique de France, VII (1884), pp. 89, 418; Journ. de Phys., s. 3ª, III (1894), p. 393; H. Ollivier, Physique générale, I, Parigi 1921.

Geometria.

1. In geometria due punti P, P′ si dicono simmetrici rispetto a un centro C, quando questo è il punto medio del segmento PP′; si dicono simmetrici rispetto a una retta (asse) r, o rispetto a un piano π, quando l'asse, o rispettivamente il piano, è perpendicolare al segmento PP′ nel suo punto medio. Due figure si dicono poi simmetriche rispetto a un centro o a un asse o a un piano, se i loro punti sono a due a due simmetrici rispetto a quel centro o a quell'asse o a quel piano. Un esempio evidente di figure simmetriche rispetto a un piano viene offerto da una figura qualsiasi e dalla sua immagine riflessa da uno specchio piano.

La considerazione delle figure simmetriche assume importanza speciale, perché due figure dello spazio simmetriche rispetto a un punto o a un piano, pur avendo uguali tutti gli elementi (segmenti e angoli) corrispondenti, non sono in generale sovrapponibili col movimento. Si è in tal modo condotti a una uguaglianza inversa, che differisce dall'uguaglianza diretta, definita come sovrapponibilità. Così due poliedri simmetrici rispetto a un piano, o a un punto, non sono in generale sovrapponibili, perché i loro angoloidi corrispondenti hanno versi contrarî.

Invece le figure dello spazio simmetriche rispetto a una retta sono direttamente uguali, in quanto risultano sovrapponibili con una rotazione di due angoli retti attorno all'asse di simmetria. Si noti poi che sul piano la simmetria rispetto a un punto dà luogo all'uguaglianza diretta, mentre quella rispetto a una retta conduce all'uguaglianza inversa; ma anche in questo secondo caso si perviene alla sovrapposizione delle due figure, purché una di esse si faccia uscir dal piano, e vi si riadagi ribaltata. Si comprende la diversità (rispetto al caso spaziale), considerando le due simmetrie sul piano come ottenute per proiezione e sezione da simmetrie spaziali rispetto a un asse (nel primo caso) o a un piano (nel secondo).

Sulla distinzione del verso nelle figure solide simmetriche, di cui già si tiene conto nell'antichità (così in Menelao, sec. I d. C.), richiamò in modo speciale l'attenzione J. A. Segner nel 1741, seguito da A.-M. Legendre e da A. F. Mobius.

2. Dal punto di vista della geometria proiettiva (v. geometria, nn. 26, 29) le simmetrie costituiscono altrettanti casi particolari metrici di proiettività involutorie. Sulla retta (punteggiata) la simmetria rispetto a un centro (congruenza inversa) è un'involuzione iperbolica che sia insieme una similitudine: tale cioè che uno dei due punti doppî sia improprio. Sul piano la simmetria rispetto a un centro è una speciale congruenza diretta (omotetia involutoria, cioè omologia armonica con l'asse improprio), mentre la simmetria rispetto a un asse è una speciale congruenza inversa (omologia armonica col centro improprio, cioè omologia affine involutoria). Per quest'ultimo caso, se il centro è in direzione perpendicolare all'asse si ha la simmetria ortogonale quale è stata definita elementarmente pocanzi; altrimenti si ha la simmetria obliqua. Nello spazio ogni simmetria rispetto a un asse, intesa nel senso più generale (cioè anche obliqua), è una omografia biassiale iperbolica (avente cioè due rette distinte di punti uniti, di cui una impropria), involutoria, cioè armonica; ogni simmetria rispetto a un piano (anche obliqua) è una omologia affine (cioè avente il centro improprio), involutoria; ogni simmetria rispetto a un centro è una omotetia involutoria.

Bibl.: Un cenno sulle figure simmetriche si trova generalmente in tutti i trattati di geometria elementare: per uno sviluppo più ampio della teoria, v. ad es., E. Rouché e C. de Comberousse, Traité de Géometrie, 7ª ed., Parigi 1901. Per la simmetria considerata sotto l'aspetto proiettivo, v., ad es., F. Enriques, Lezioni di geometria proiettiva, 4ª ed., Bologna 1920.

Mineralogia.

Per la simmetria nei cristalli, v. cristalli: Morfologia.