singolarita
singolarita
singolarità termine usato per indicare un elemento di un insieme che non gode delle proprietà comuni agli elementi generici dell’insieme stesso.
☐ In geometria, nel caso di una curva, espressa in forma parametrica, si dice che essa ha una singolarità in un punto quando questo corrisponde a diversi valori del parametro, o quando corrisponde a un estremo dell’intervallo base (se la curva non è chiusa), o quando corrisponde a un valore del parametro in cui è nulla, oppure quando non esiste la derivata della sua parametrizzazione (→ curva; → curva, nodo di una; → punto singolare). Analogo è il significato di singolarità per una superficie.
☐ In analisi, una funzione analitica ƒ(z) ha una singolarità in un punto z0 se in esso viene a mancare la continuità sua o di una delle sue derivate. Si distinguono le singolarità isolate, in un intorno delle quali non esistono altri punti singolari, da quelle che sono punti di accumulazione di altre singolarità. Si può, quindi, dire che una funzione complessa di variabile complessa ƒ(z) ha una singolarità in z0 se non è olomorfa in z0: se ƒ è olomorfa in un cerchio centrato in z0, privato del centro, la singolarità si dice isolata. Per una singolarità isolata di una funzione monodroma, lo sviluppo in serie di → Laurent consente una classificazione in poli e singolarità essenziali: se lo sviluppo in serie di Laurent ha i coefficienti delle potenze negative tutti nulli la singolarità si dice eliminabile; se ha un numero finito di tali coefficienti non nulli, z0 si chiama polo della funzione e si dice che la funzione ha una singolarità polare; se i detti coefficienti non nulli sono infiniti, la singolarità si dice essenziale. Per una funzione polidroma è lo sviluppo di → Puiseux che gioca un ruolo analogo. Per il comportamento di una funzione analitica nell’intorno di un suo punto di singolarità essenziale, si vedano anche → Casorati-Weierstrass, teorema di; → Picard, teorema di.
☐ Il concetto di singolarità si usa anche in altri contesti: nel caso di matrici, si dice singolare una matrice il cui determinante è nullo; per le equazioni differenziali, si indica come → integrale singolare (di frontiera) una soluzione dell’equazione non compresa nel suo integrale generale.