UNITÀ, sistemi di

UNITA, sistemi di

UNITÀ, sistemi di (XXXIV, p. 714) - I sistemi di u. di misura fanno oggetto di un capitolo della metrologia.

I principî di questa sono sostanzialmente a base convenzionale e molto hanno guadagnato in chiarezza e unicità nell'ultimo ventennio. Qui indicheremo come dalle definizioni e dai principî attuali della metrologia si giunge a un sistema di unità di misura (o di misurazione).

1. Grandezze fisiche. - Grandezza fisica è ogni ente utile per la descrizione dei fenomeni fisici e suscettibile di definizione quantitativa, cioè di misurazione.

Misurazione è l'operazione del misurare.

Misurare una grandezza fisica G rispetto ad un'altra grandezza fisica, detta unità di misura [G], è trovare quel numero G (indicato spesso con {G}) per cui "G volte [G]" è uguale a G, e si scrive:

La grandezza fisica, così "misurata", risulta il prodotto di un numero (misura della grandezza rispetto alla prescelta unità) per l'u. di misura; fanno eccezione le grandezze fisiche adimensionate (v. oltre, n. 8).

Es.: l = 5 m, lunghezza di una sbarra, è una grandezza fisica.

Moto, luce, calore, elettricità, resistore, ecc., non sono grandezze (fisiche); lo sono velocità, quantità di luce, quantità di calore, quantità di elettricità, resistenza elettrica, ecc.

La misurazione su indicata (misurazione diretta) presuppone un accordo sui due punti seguenti:

1) Quale operazione stabilisce se due grandezze sono uguali. Di conseguenza esse sono necessariamente "della stessa specie".

Es.: le operazioni stabilite fin dalla geometria di Euclide per decidere l'uguaglianza di due segmenti servono a stabilire se due sbarre sono uguali "rispetto alle lunghezze"; le loro lunghezze sono due grandezze fisiche della stessa specie; la lunghezza è una (specie di) grandezza fisica comune alle due sbarre.

2) Quale operazione dà significato alla somma G₁ + G₂ = G₃ di due grandezze; e la definizione è sempre tale da concludere che G₁, G₂, G₃ sono necessariamente grandezze della stessa specie.

In particolare, la stessa operazione stabilisce se una grandezza G è doppia, tripla, ennupla di un'altra G₁, sicché sia da scrivere;

L'operazione definisce la misurazione diretta, o "euclidea" di G rispetto a G₁; quest'ultima costituisce allora l'unità: G₁ = [G]; n è la misura rispetto a G₁ = [G]. L'operazione si estende dal caso di n intero e positivo al caso di n numero reale (in genere sol positivo).

In generale, due grandezze (fisiche) diconsi della stessa specie, o fisicamente omogenee, se se ne può stabilire l'uguaglianza o la sostituibilità o la somma; i tre criterî coincidono.

2. Unificazione delle unità. - Una delle più vantaggiose semplificazioni nella metrologia si raggiunge col convenire che una stessa grandezza sia u. comune per tutte le grandezze della sua specie; per es. il metro (m) per tutte le lunghezze.

Contro questa unificazione si ergono difficoltà, ancora insuperatei dovute all'abitudine, all'empirismo, all'interesse, e anche a talune concessioni antiche della metrologia stessa; tra queste ultime sono da porre i prefissi indicanti multipli e sottomultipli decimali delle u. primitive. Questi prefissi si sono rivelati in buona parte più dannosi che utili, sicché ora se ne raccomanda un uso limitatamente a:

Ma ecco, fortemente ancorate alla pratica, altre u. non unite all'u. primaria nemmeno da semplice rapporto decimale: es. anno luce, (9,462 7•10¹⁵ m), parsec (3,084•10¹⁶ m), miglio marino (1852 m) per le lunghezze; minuto e ora e giorno e anno per i tempi; le numerose u. di angolo piano in luogo del radiante (v. oltre, n. 6); il watt-ora per le energie; ecc.

Un passo gigante verso l'unificazione accennata fu compiuto con l'adozione delle u. dette "pratiche" per le grandezze elettriche, ed un passo gigante è stato quello recente dell'adozione legale del sistema metrico decimale nell'India e nella Cina.

Deve pensarsi decisiva per questa unificazione la risoluzione approvata dalla XI Conférence Générale des Poids et Mesures (Parigi, ottobre 1960) che il sistema MKSA °K cd (v. oltre. n. 11) sia adottato come sistema di unità per le relazioni internazionali; esso avrà simbolo SI.

Ma il progresso verso l'unificazione è lento e faticoso in campi della fisica e in paesi (come quelli di lingua inglese) ove antiche consuetudini metrologiche sono tuttora ferreamente radicate.

Così l'unificazione nella metrologia deve talvolta accontentarsi di progressi di portata ben ristretta, come i seguenti:

Å (ångström) è esattamente 10^-10 m e non approssimativamente, come è stato storicamente; inch (pollice inglese) negli S. U. A. è esattamente 0,025 4 m e non approssimativamente, come prima si ammetteva; litro è esattamente 10^-3 m³; ecc.

3. Conversione tra unità. - Lo stato di fatto della molteplicità delle u. di misura per una stessa grandezza fisica crea la necessità delle equazioni o relazioni di conversione. Si abbiano due grandezze della stessa specie G₁, G₂ usate entrambe come unità: [G₁], [G₂]. Detta n la misura di G₁ con l'u. G₂, è:

quindi, misurando G₂ in u. G₁:

Le [3], [4] costituiscono l'equazione di conversione tra le due u.; n e

sono i rapporti di conversione, rispettivamente in un verso e nell'altro.

Per es.:

e ancora, definito l'yard come 36 inch, è anche:

Naturalmente, solo conoscendosi le equazioni di conversione è possibile paragonare risultati di misurazioni di grandezze della stessa specie espressi in u. diverse.

E, se queste equazioni si conoscono, non vi è più alcuna difficoltà a ridurre tutte le misurazioni di grandezze di una stessa specie ad una sola unità.

Ma si hanno ancora due casi che illustriamo sull'esempio [6].

O le due u., metro e yard, derivano da origini indipendenti (metro è la lunghezza definita dalla 1^ère Conférence Générale des Poids et Mesures tenutasi nel 1889; imperial yard è l'unità di lunghezza per l'impero britannico, definita dal Parlamento Britannico nella legge 1878 sui Pesi e Misure), e allora il rapporto di conversione è un valore sperimentale, quindi affetto da errori sperimentali. Tra i valori segnalati in metrologia sono, per es., i seguenti:

l'errore relativo presumibile in questi valori è di ≈± 0,000 01.

Oppure si ammette esatto il rapporto di conversione indicato in [5], [6]. È questa la deliberazione legale negli S. U. A. dal 1° luglio 1959; analoga deliberazione sembra matura ma non è ancora perfezionata in Gran Bretagna.

Quest'ultima è la strada oggi preferita e conduce in definitiva all'unificazione delle u. sebbene l'una delle due sia costituita da un multiplo non decimale (ma esatto) dell'altra.

4. Calcolo tra grandezze, tra misure. - Nel calcolo tra misure, i simboli con cui si indicano le grandezze fisiche ne sono le sole misure, le u. devono essere ricordate a parte.

Per es.: l = 5 sarà una lunghezza e si ricorderà a parte se è misurata in metri o in altra u.; t = 2 sarà una durata (di tempo) e a parte si tiene conto se l'u. è il secondo o un'u. diversa.

Le relazioni quantitative della fisica sono relazioni matematiche tra dette misure; se interessa il quoziente l/t, è quello delle misure: 5/2 = 2,5, sarà la misura di una velocità, con u. "metro al secondo" da ricordarsi in separata sede.

Nel calcolo tra grandezze, ormai decisamente preponderante in fisica, si adottano simboli distinti per le varie (specie di) grandezze fisiche, e questi simboli vanno stampati in corsivo: l per le lunghezze, t per le durate, u per la velocità, q per le cariche elettriche, ecc.

Quindi ogni simbolo è il prodotto della misura (numero) per l'u. (grandezza fisica) di riferimento. Le relazioni quantitative della fisica sono relazioni, da trattarsi con l'algoritmo algebrico, tra detti simboli, cioè tra grandezze. Es.: la velocità (grandezza fisica) è

nell'esempio numerico è:

Il quoziente indicato è una operazione convenzionale perché convenzionale è il simbolo

Le [3] ÷ [6] sono un primo caso di calcolo tra grandezze limitato a grandezze della stessa specie, e vi sono presenti diverse u. di misura. Ma, almeno nelle scienze, è consigliabile usare sempre una e una sola u. per ogni (specie di) grandezza fisica. Allora una uguaglianza di due di queste, Gr, Gs, della stessa specie, con la stessa u. [G], dà luogo alla relazione Gr [G] = Gs [G], quindi Gr = Gs: se due grandezze della stessa specie sono uguali, ne sono uguali le misure.

5. Grandezze derivate. Equazioni di definizione. Sistema di misure. Coerenza. - Di ogni (specie) di grandezza (fisica) è possibile la definizione mediante la misurazione diretta, scegliendo poi arbitrariamente l'unità. Si possono così misurare: il peso col dinamometro, unità il chilogrammo-peso; la massa con la bilancia, unità il bes (-= chilogrammo-massa); il volume dei solidi con la spinta di Archimede, unità il litro; l'area di un campo dal tempo necessario ad ararlo, unità la giornata; l'intensità di corrente elettrica con l'elettrodinamometro, unità l'ampère; la carica elettrica col voltametro, unità il vecchio coulomb internazionale; la resistenza elettrica col ponte di Wheatstone, unità il vecchio siemens; la tensione (differenza di potenziale) elettrica col metodo di opposizione, unità il vecchio daniell; ecc.

L'inopportunità di questo procedimento è nota da tempo e già Euclide (40 sec. a. C.) suggeriva che, misurate le lunghezze a cubiti, è comodo misurare le aree in cubiti quadri, cioè assumere come unità l'area del quadrato di lato il cubito.

Se, come pure avvenne ai primordi, si misurano ad es. le differenze di potenziale ΔV in daniell, le resistenze r in siemens, le intensità di corrente i in ampère internazionale, la legge di Ohm ΔV = i•r diviene

costante sperimentale, quindi affetta dagli errori di osservazione e dipendente dalle u. di misura adottate. Le leggi fisiche diverrebbero infiorate da simili costanti sperimentali.

Ciò viene evitato con l'accettazione di un sistema di misura (o di misure, o di misurazione) alla cui base stanno le seguenti convenzioni.

a) Misurare tutte le grandezze della stessa specie con la stessa u. (per es. il metro per le lunghezze, il bes = kgr_m per le masse, ecc.).

b) Limitare la definizione col metodo diretto (n.1) a pochissime specie di grandezze fisiche. Si è convenuto che queste siano lunghezza, tempo, massa, intensità di corrente elettrica, temperatura, intensità di emissione luminosa.

Queste (specie di) grandezze sono state preferite per la facilità ad averne campioni ben conservabili o riproducibili, il "campione" essendo un corpo o un sistema di corpi concreto ove sia individuata la grandezza fisica realizzata e se ne conosca il valore; es.: la sbarra di platino iridio dove sono segnate due righe parallele distanti 1 m. In generale il campione dà un multiplo (o sottomultiplo) dell'u. e non necessariamente l'u. stessa.

Le sei (specie di) grandezze suddette diconsi grandezze fondamentali o primarie; ad esse corrispondono le sei unità fondamentali (o primarie) da pensarsi tra loro indipendenti: metro (m), bes (chilogrammo-massa, kgr_m), secondo (s o sec), ampère assoluto (A), grado Kelvin (°K), candela (cd).

c) Per le altre (specie di) grandezze si accetti la definizione e la misura secondo una equazione-base o equazione di definizione tra grandezze (ted.: Grössengleichung, J. Wallot) e conseguente unità coerente. Queste grandezze e le loro u. coerenti diconsi derivate.

Più che raffinate definizioni sono chiarificatori i seguenti esempî elementari.

a) È equazione di definizione per la velocità u la relazione tra grandezze (per la metrologia consueta non interessa né il simbolo vettoriale, né quello differenziale):

ove l è la lunghezza ("spazio") e t il "tempo" durante cui è percorsa; si dice convenzionalmente e succintamente che "la velocità è lo spazio diviso il tempo"; la velocità è grandezza derivata dello spazio e del tempo.

Introducendo le misure u, l, t e le unità [u], [l], [t] si ha:

che non impegna ancora nessuna unità. La [8] si divide in

con k valore numerico arbitrario.

Ma la divisione più semplice si ha ponendo k = 1:

e questa divisione si dice "secondo coerenza".

Allora l'equazione tra misure è formalmente identica a quella tra grandezze [7] ed è una banale relazione aritmetica. L'equazione tra u., anch'essa questa volta formalmente identica alla [7], è una relazione convenzionale: nessuno divide l'u. di spazio per l'u. di tempo, ma l'equazione tra u. ricorda che l'operazione compiuta tra le misure è stata una divisione, mentre che, effettuato il quoziente

nessuna traccia resta t dell'operazione tra misure che ha fornito il valore u.

Es.: un punto che percorre 35 m in 7 sec ha velocità

La [10] si divide secondo coerenza in:

L'unità di velocità coerente con le u. m e sec è [u] =

la misura della velocità è 7, ma questo valore non ci ricorda più con quale operazione fu ottenuto; ce lo ricorda [u] =

Certamente è vero che la stessa velocità u è anche:

Basta dividere la [10] in due equazioni rinunziando alla coerenza, ponendo

sicche è adesso

b) L'energia cinetica &scr;E di una massa m dotata di velocità di traslazione u è, per definizione:

&scr;E è grandezza derivata dalla massa e dalla velocità. Succintamente: &scr;E è "un mezzo della massa per il quadrato della velocità".

La [11], esplicitando misure e u., si scrive:

e si divide secondo coerenza in:

L'equazione tra misure è formalmente identica alla equazione tra grandezze [11] e comprende il coefficiente numerico

l'equazione tra u. non più.

In particolare, se si usano le u. (fondamentali) bes (= kgr_m), m, sec, l'unità coerente di energia cinetica è il monomio convenzionale

a cui si è trovato comodo dare il nome joule e il simbolo J; perciò si scrive J = bes•m²•sec^-2.

Es.: una massa di 6 bes, che si muove con velocità

ha energia cinetica:

In questi due esempî sta quanto occorre per comprendere: equazioni di definizione (tra grandezze), grandezze derivate, equazione tra misure, equazione tra u., coerenza.

Così i concetti di calcolo tra grandezze e di coerenza vengono estesi anche alle grandezze derivate, con i seguenti vantaggi grandissimi:

α) la presenza costante delle u. in tutte le relazioni quantitative della fisica, quindi l'immediato controllo dell'"omogeneità dimensionale"; questa consiste nell'uguaglianza delle u. nei due membri delle relazioni; questa omogeneità dicesi dimensionale perché, a tutti gli effetti concreti, si può identificare "dimensioni" di una grandezza con sua "unità". Sulle difficoltà incontrate nel controllo dimensionale per la presenza di grandezze equidimensionate o adimensionate, v. oltre, n. 8;

β) l'uguaglianza delle misure in tali due membri.

6. Controversie. - Accettare una equazione di definizione significa conoscere le convenzioni che richiede affinché determini univocamente la grandezza fisica che vuol definire e così questa sia utilizzabile per la descrizione dei fenomeni fisici.

L'accordo su queste convenzioni è di regola universale.

Qualche volta si hanno contrasti che tolgono alla metrologia il suo aspetto migliore, che è la sua universalità.

Si tratta dei casi seguenti:

I) Area A. - La si definisce, considerando come area elementare quella del quadrato di lato l, mediante l'equazione di definizione: A = l², da scindere con coerenza in:

L'area è il quadrato di una lunghezza, l'u. di area è l'area di un quadrato di lato unitario; es.: se l'u. di lunghezza è il m, l'unità coerente di area è il m² (metroquadro o metroquadrato), cioè l'area di un quadrato di lato il metro.

Per i dissidenti, l'area è proporzionale al quadrato del lato (verissimo), e per il cerchio è proporzionale al quadrato del raggio; sicché essi preferiscono fare uguale ad 1 la costante di proporzionalità per l'area del cerchio; la [13] vale per i cerchi: [A] = [l]² è l'area del cerchio di raggio unitario.

Allora, mentre secondo la [13] è la misura dell'area del cerchio ad essere A₀ = π l², ora è la misura dell'area del quadrato ad essere

Le due posizioni sono incompatibili.

Noi riteniamo inammissibile questa seconda posizione perché, accettata come area elementare quella del quadrato, il calcolo infinitesimale si svolge fondato sul fatto che ogni area è somma di elementi quadrati (o rettangolari) uguali (o almeno infinitesimi dello stesso ordine); non conosciamo un calcolo infinitesimale che faccia qualcosa di analogo assumendo come area elementare quella del cerchio.

II) Volume v. - Avviene un fatto analogo, nei riguardi del cubo e della sfera; e, per motivo analogo, non ci appare sostenibile la convenzione che il volume della sfera assuma carattere di volume elementare.

III) Angolo piano. - In metrologia, nel calcolo infinitesimale, in fisica predomina l'equazione di definizione dell'angolo piano

l'angolo piano è grandezza fisica derivata, misurabile dal rapporto tra l'arco di cerchio ar con centro nel vertice e contenuto nell'angolo, e il raggio r di questo cerchio. Tale rapporto per un dato angolo è indipendente dal raggio r. Si dice succintamente e convenzionalmente che l'angolo piano è il rapporto tra l'arco e il raggio.

Secondo coerenza e col nostro sistema di equazioni-base (n. 7) a_r, r si misurano con la stessa u., per es. il metro. Allora è unità d'angolo

angolo che sottende un arco lungo come il raggio. È unità ritenuta dai più adimensionata. Secondo la norma generale (n. 8) non avrebbe nome. Invece è detta "radiante"; si afferma sempre più l'opportunità che metro di arco e metro di raggio non siano omogenei e che non sia nè opportuno nè legittimo scrivere

ma sia meglio scrivere

dimensione non ignorabile.

Ma sono anche in uso le seguenti altre due definizioni e unità di angolo piano:

da dividersi in:

è l'u. d'angolo detta grado (babilonese o nonagesimale o) sessagesimale;

è grandezza fisica che vale

L'unità viene divisa non decimalmente in primi (′) e secondi (″): 1° = 60′; 1′ = 60″; il secondo d'arco è diviso decimalmente. In questa u., l'angolo giro vale 360°, l'angolo retto vale 90°; ed è: 1 rad = 57,2957 795...° = 57° 17′ 44″ ,8... Il grado babilonese è tuttora l'u. d'angolo più largamente diffusa nella pratica.

da dividersi come nel caso precedente; ma ora è [ϕ] = ^g, grado centesimale; l'angolo giro è diviso in 400 parti, l'angolo retto è diviso in 100, il "^g" è diviso decimalmente. Il grado centesimale è diffuso ed è utilissimo in topografia.

Non si può sperare in un vicino tramonto delle definizioni d'angolo piano (α) e (β), ma è un fatto che l'International Organisation for Standardisation (ISO), massimo organo di unificazione mondiale, nella elaborazione in corso di un lavoro d'insieme sulle grandezze fisiche e u. ha concluso con l'accogliere la definizione [14].

IV) Razionalizzazione nell'elettromagnetismo. - v. successivo n. 10.

7. Sistema di equazioni-base. Sistema di misure della meccanica. - Il caso della meccanica è sufficiente per illustrare tutti i concetti generali.

Un insieme di equazioni di definizione, tra loro compatibili, costituisce un sistema di equazioni-base e da esso si trae un sistema di misure (o di misura o di misurazione), e un sistema di u. di misura come vedremo oltre.

Ciò non avviene ancora in modo univoco.

A parte i casi di contrasto che abbiamo detto al n. 6, il sistema di equazioni-base è unico, universale e le equazioni di definizione che lo costituiscono si introducono successivamente, in modo naturale e non limitato.

Ecco un primo gruppo di queste equazioni:

Oltre quelli già introdotti si hanno i simboli: a accelerazione; F forza; &scr;Llavoro; &scr;P potenza; Q_m quantità di moto; M momento "statico" di rza; b braccio della forza; p pressione areica (forza areica); m_v massa volumica.

Le ultime tre stabiliscono semplicemente che b, a_r, r sono da misurare come le lunghezze; qualche riserva nel caso di a_r ed r è stata fatta al n. 6.

La metrologia non considera il carattere vettoriale delle grandezze, e così deve rinunziare a distinguere "braccio" b di una forza da spazio l lungo cui una forza lavora. Anche le definizioni a carattere differenziale sono di regola considerate superflue. Il gruppo prosegue estendendosi senza difficoltà; ogni nuova equazione introduce (= definisce) una nuova grandezza.

Si hanno tre specie di grandezze in più del numero delle equazioni base; tre specie di grandezze, convenientemente scelte, sono fondamentali e le tre corrispondenti u. sono fondamentali.

Si stabilisca che le u. derivate siano tutte coerenti. Allora il sistema [17] si scinde nel sistema delle equazioni tra misure:

formalmente identiche alla [17] (ma vi appaiono le sole misure, non le grandezze) e nel sistema delle equazioni tra unità:

prive di eventuali coefficienti numerici, tutti inseriti nelle [18].

Si stabiliscano le u. fondamentali, quindi anche le (specie di) grandezze fondamentali.

Allora risulta individuato un sistema di misurazione, di consueto detto "di misure" (o "di misura"), ed il corrispondente sistema di unità (coerenti).

Ad es. scelte l, m, t, come grandezze fondamentali, e m, bes (=kgr_m) sec come loro unità, si ha il sistema indicato brevemente, ma illogicamente, con MKS.

Trattate come un sistema di equazioni algebriche, le [19] permettono di esprimere tutte le u. in funzione di tre sole convenientemente scelte; tali tre u. diconsi di riferimento dimensionale. Generalmente, ma non necessariamente, esse coincidono con le u. fondamentali, e in questo caso le altre u. diconsi derivate, come le grandezze fisiche corrispondenti e come già si è detto.

Le [19], risolute rispetto a [l], [m], [t], danno il sistema

Aggiungendo le u. fondamentali, gli esponenti 1 e anche le u. fondamentali con esponente nullo, alle quali va allora attribuito il significato di valore numerico 1, si è ottenuta una scrittura molto uniforme, che è tipograficamente più facile se, come abbiamo fatto, si scrive, per es.,

invece di [l]²•[m]¹•[t]^-2.

In particolare, per [l] = m, [m] = bes (= kgr_m), [t] = sec, si ha per il primo gruppo di grandezze [17]:

8. Dimensioni. Omogeneità. - Le equazioni tra u., specialmente se risolute rispetto alle u. fondamentali, come le [20], [21] diconsi equazioni dimensionali.

In origine, si intese per "dimensioni" gli esponenti dell'equazione tra unità; per es. l'area aveva dimensione 2 rispetto alla lunghezza e zero rispetto alla massa e al tempo, la forza dimensioni 1,1,-2 rispettivamente per la massa, la lunghezza, il tempo, ecc.

Attualmente, le dimensioni di una grandezza fisica sono identificate con la sua unità. Le frasi convenzionali: "la velocità è una lunghezza diviso un tempo", "il volume è il cubo di una lunghezza", "forza è la massa per l'accelerazione", ricordano semplicemente le dimensioni. E se le u. fondamentali sono specificate e quelle derivate, coerenti, sono espresse mediante quelle fondamentali, si ha semplicemente, ad esempio nel sistema di u. [21], che: le dimensioni della velocità sono m•sec^-1 (metro al secondo); le dimensioni del volume sono m³ (metrocubo); le dimensioni della forza sono m•bes•sec^-2, e questo monomio di dimensioni (= di unità) dicesi newton, ecc.

In un dato sistema di misurazione, coerente, grandezze fisicamente omogenee, cioè della stessa specie, sono misurate tutte dalla stessa unità: esse sono equidimensionate o dimensionalmente omogenee. Ma grandezze di specie diversa possono risultare equidimensionate.

Lavoro e momento di una forza (v. tab., nn. 24,31), finché la metrologia non distingue tra prodotto scalare (forza per spostamento, o lavoro) e prodotto vettore (forza per braccio, o momento di forza) sono equidimensionati; pressione areica (forza distribuita su di una superficie, riferita a tale superficie) e modulo di compressione (v. tabella, nn. 25,28) sono equidimensionati, e così sono equidimensionati allungamento termico relativo e dilatazione termica relativa (cioè i coefficienti di dilatazione lineare e di volume; v. tabella nn. 47,48), capacità termica (tabella n. 51) ed entropia (tabella, n. 53), ecc.

Si deve anche riconoscere la presenza in metrologia di grandezze adimensionate, cioè prive di dimensioni; nel sistema di u. [21] la loro unità ha la forma m⁰•bes⁰•sec⁰; l'angolo (tabella, n. 7) finché in metrologia arco a_r e raggio r. si considerano della stessa specie (e cioè entrambi misurati in m) ed ha significato una loro somma, è adimensionato; tutti i rendimenti, rapporti di una certa energia utilizzati ad una certa energia disponibile, sono adimensionati; l'indice di rifrazione (tabella, n. 57) è adimensionato; ecc.

La presenza di grandezze equidimensionate e di grandezze adimensionate crea concreti imbarazzi al controllo dimensionale delle formule tra grandezze in fisica.

Questo controllo consiste nell'assicurarsi che i due membri di una equazione fisica sono equidimensionati perché devono essere della stessa specie. Ma così si controlla l'omogeneità dimensionale dei due membri dell'equazione; questa omogeneità è condizione necessaria perché sia soddisfatta l'omogeneità fisica; ma non è sufficiente, perché il controllo dimensionale consueto non si accorge della presenza o meno delle grandezze adimensionate, e non distingue tra grandezze di specie diversa ma equidimensionate. Per queste due ragioni, i due membri di una equazione fisica possono essere fisicamente non omogenei, cioè di specie diversa e quindi l'equazione è inammissibile, senza che le dimensioni ce lo rivelino.

Oltre il caso dell'angolo piano, che spesso fa disperare nei controlli dimensionali, tra i casi più subdoli è da mettere la distanza l e il cammino ottico equivalente Δ = n•l, ove n è l'indice di rifrazione del mezzo. Ora, n è adimensionato; nelle dimensioni consuete è [Δ] = [nl] = [l], cioè il controllo dimensionale non distingue distanza (unità m) e cammino ottico (unità ancora m).

A questo inconveniente il controllo dimensionale può rimediare con l'introduzione di u. (e dimensioni) ausiliarie e fittizie di controllo dimensionale. Ad es.: si indichi a questo scopo con [n] l'unità fittizia di indice di rifrazione. Un cammino ottico porterà sempre con sé le dimensioni m•[n] e non si confonderà mai più con una distanza avente per dimensioni soltanto m. Con l'introdurre nel calcolo tra grandezze l'u. rad quando nelle relazioni è presente l'angolo piano (e radiante sia l'u.), e con l'introdurre l'u. str (steradiante) quando in esse è introdotto l'angolo solido (e steradiante ne è l'u.), si impedisce che si uguaglino, perché considerate della stessa specie, espressioni fisiche che appaiono di eguali dimensioni mentre sono diverse per la presenza non controllata degli angoli adimensionati.

A questo proposito occorre porre in evidenza la differenza tra grandezze (fisiche) adimensionate e numeri puri.

Una grandezza fisica dimensionata si individua con tre elementi: (1) nome della specie. (2) misura, (3) unità; per es.: (1) lunghezza, (2) 5, (3) m; (1) velocità, (2) 7, (3)

Una grandezza fisica adimensionata si individua con due elementi: (1) nome della specie, (2) misura; per es.: (1) indice di rifrazione, (2) 1,5, È utile eccezione il caso degli angoli, considerati adimensionati, e la cui unità, invece, ha nome radiante (per l'angolo piano), steradiante (per l'angolo solido).

Un numero puro è invece anonimo (oltre il nome che gli spetta nella numerazione; es.: 5); se esso appare in un prodotto di grandezze fisiche, lo si potrà leggere 5 "volte".

9. Estensione del sistema di misure oltre la meccanica. - Si è trovato comoda l'introduzione di nuove grandezze e u. fondamentali: temperatura e grado kelvin (°K) per la termologia, intensità di emissione luminosa e candela (cd) per la fotometria, intensità di corrente elettrica e ampère (A) per l'elettromagnetismo. Su queste l'accordo è ormai raggiunto su scala universale. L'estensione del sistema di equazioni base è fatta anch'essa in modo unico, universale per termologia, acustica, fotometria e ottica.

Non può considerarsi ancora univoca in modo soddisfacente la metrologia dell'elettromagnetismo.

È noto da tempo che, introdotte le equazioni-base dell'elettromagnetismo in modo da soddisfare i varî sistemi di misura che si sono affermati da un secolo in qua, appaiono in esse due nuove grandezze elettromagnetiche in più del numero delle nuove equazioni-base. Se si procede come per la meccanica (n. 7), occorrono dunque due nuove grandezze fondamentali e due nuove unità fondamentali.

Tra le grandezze elettromagnetiche apparivano tre costanti universali: K_el,o, costante dielettrica del vuoto, presente nella legge di Coulomb elettrica;

&scr;K_o costante magnetica del vuoto, presente nella legge di Coulomb magnetica;

γ_o, costante elettromagnetica, indipendente dal mezzo, presente nella legge che lega l'intensità di corrente elettrica i con l'intensità del campo magnetico (eccitazione magnetica) &scr;K che ne è generata.

Esse sono legate dalla:

In un primo e lungo periodo di tempo, mentre le equazioni base venivano scritte universalmente allo stesso modo, ma erano equazioni tra misure e non tra grandezze, si contesero la palma i sistemi di cui alla tab. in fondo alla pag. precedente.

Ogni sistema ha, dunque, 5 grandezze fondamentali, tra cui due delle costanti legate dalla [22]; [γ_o] = γ_o è lo stesso nei primi due sistemi; [K_{el, o}] = K_{el, o} è lo stesso per il 1° e 3°; [&scr;K_o] =&scr;K_o è lo stesso per il 2° e 3°.

Dominando allora il calcolo tra le misure, le grandezze fondamentali (costanti universali), cui veniva attribuito il valore1, scomparivano dalle formule insieme con le loro unità, e si disse che i sistemi CGS erano "tridimensionali", si diffuse l'idea che essi avessero 3 sole grandezze fondamentali, quelle della meccanica.

Ora è internazionalmente preferito per l'elettromagnetismo il sistema MKSA, che è parte del sistema più generale MKSA °K cd (1956) detto SI (sistema internazionale, 1960; v. n. 2).

Il sistema MKSA è fondato sullo stesso sistema di equazioni base dei tre sistemi CGS. Esso può venire individuato, in modo analogo ai sistemi CGS, nel modo seguente:

La scelta del valore ???_MKSA di &scr;K_o. può sembrare artifiziosa, ma così (G. Giorgi) il sistema MKSA congloba come u. coerenti tutte le antiche u. dette "pratiche assolute", in particolare l'ampère.

Questo vantaggio, unito all'impiego divenuto universale di queste u. "pratiche", ha costituito il fattore predominante della preferenza ora accordata a questo sistema su tutti gli altri.

Se come grandezza e u. fondamentali non si scegliesse la costante magnetica e l'unità [&scr;K_o] = 10⁷ &scr;K_o, ma si scegliesse una delle grandezze che hanno dato origine alle u. pratiche e la corrispondente u. pratica (intensità di corrente elettrica e ampère, quantità di elettricità e coulomb, differenza di potenziale e volt, resistenza elettrica e ohm, ecc.) si ritroverebbe lo stesso sistema MKSA. Ora si è data la preferenza come grandezza e u. fondamentale all'intensità di corrente i e u. ampère (A). Ecco il sistema venire ormai indicato dalla sigla MKSA.

Tutto questo avrebbe condotto alla unificazione universale del sistema delle equazioni-base e del sistema delle u., insomma ad un sistema unico di misure per tutta la fisíca applicata senza il fatto seguente.

10. La razionalizzazione. - Essa comincia con J. C. Maxwell che nel suo Treatise (10 vol., p. 70; 1873); introduce la quantità S = D/4π in luogo di D, induzione elettrostatica e la chiama "spostamento". A quella data non si parlava di calcolo tra grandezze, ma è chiaro che Maxwell volle introdurre, con nuovo termine e nuovo simbolo, una nuova grandezza "razionalizzata": è [S] = D/(4π); poiché 4π sono steradianti, in dimensioni è [S] = [D]•str^-1.

Segue O. Heavside (1882). L'integrale dell'intensità &scr;H del campo magnetico creato da una corrente i, quando l'integrale sia esteso ad una linea chiusa s concatenata col circuito della corrente, dà luogo alla relazione detta di Ampère:

Ma domina il calcolo tra le misure; 4π è interpretato come 4π = 12,56... volte; anche i, s, &scr;H &scr;Ksarebbero le misure sole.

Questo "4π volte i" turba Heaviside, che scrive: "La presenza del fattore 4π è dovuta alla definizione dell'u. di polo magnetico. Se definissimo questa u. in modo che la forza magnetica emanata alla distanza r fosse 1/(4πr²) (e non 1/r²), cioè si scegliesse come u. di massa magnetica la (4 π)^esima parte di quella classica, il fattore 4π nella relazione di Ampère sparirebbe".)

Affermatasi la razionalizzazione, essa appare realizzata in due modi:

I) Si introducono per un gruppo di grandezze dell'elettromagnetismo nuove u., per talune 4π volte maggiori, per talune altre 4π volte minori di quelle classiche in modo da eliminare il fattore 4π nelle relazioni tra misure là dove disturba gli elettrotecnici. Si esegue così una razionalizzazione delle unità (Heaviside, Giorgi); le grandezze fisiche classiche toccate dalla razionalizzazione sono invariate, ma la loro misura muta in taluni casi per un fattore 4π, in altri per un fattore (4π)^-1.

2) Si introducono, per il gruppo accennato di grandezze fisiche, nuove grandezze in luogo delle classiche mediante le tre sostituzioni seguenti, che esse stesse servono a introdurre tre nuove grandezze, "razionalizzate".

Si esegue così la razionalizzazione delle grandezze. Risultano le nuove forme delle equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo (simboli già indicati o ben noti; equazioni tra grandezze):

Le grandezze meccaniche non sono toccate dalla razionalizzazione; così pure intensità di corrente elettrica i, carica elettrica q, capacità elettrica C, resistenza elettrica R, differenza di potenziale elettrica V, vettore induzione magnetica &scr;B, intensità del campo elettrico E, ecc.

Invece sono introdotte, oltre le [23], nuove grandezze "razionalizzate", ad es.:

La razionalizzazione accolta dagli elettrotecnici, dietro l'impulso di Giorgi, è stata malauguratamente quella delle unità.

Soltanto nel 1951 si afferma, invece, la legittimità metrologica della razionalizzazione delle grandezze (E. Perucca, M. Landolt e J. De Boer), che è l'unica compatibile col calcolo fra grandezze e con la coerenza.

La razionalizzazione delle u., creduta una innocente moltiplicazione (o talvolta "divisione") delle unità classiche per 4π = 12,56... volte, è, al contrario, metrologicamente inammissibile. Il fattore 4π è grandezza fisica: si tratta di 4π str, e la metrologia, se ammette che, per una stessa grandezza fisica, in luogo di una u. se ne prenda una 12,56... volte tanto, non ammette che, per razionalizzare, se ne prenda una 12,56... steradianti tanto. Ad es., razionalizzare la grandezza &scr;H, secondo la razionalizzazione delle u. significherebbe assumere a sua unità A/m in luogo dell'unità str•A/m, che è quella conforme alla definizione classica. Ma mutare così l'u. significa cambiarne la specie e quindi anche la specie della grandezza e ciò i razionalizzatori delle u. affermano di non fare.

In conclusione, l'unica razionalizzazione metrologicamente accettabile è quella delle grandezze. Questa, apparsa nel 1951, si afferma sempre più di anno in anno, sicché ora è contenuta nella sintesi sulle grandezze fisiche e loro u., che l'International Organisation for Standardisation (ISO) sta compiendo proprio in questi anni; essa è accolta dalla XI Confér. Génér. des Poids et Mesures (1960). È umano, ma non molto scientifico, che gli elettrotecnici cerchino di non cambiare.

11. Sistema MKSA °K cd. - La tabella che segue contiene le grandezze fisiche più consuete, le loro definizioni, le loro u. coerenti (= dimensioni) nel sistema MKSA °K cd; si è già detto al n. 2 che a questo sistema è dato il nome di sistema internazionale (SI, 1960). In tale sistema le unità d'angolo "radiante" e "steradiante", che nella tabella appaiono come unità derivate per la meccanica, sono invece definite come "unità (fondamentali) supplementari".

Per gli altri sistemi, tutti da considerarsi in via di estinzione, vale quanto detto (1938) nel precedente articolo (XXXIV, p. 714).

Ripudiata la razionalizzazione delle u., superate le ambiguità indicate nel n. 6, il sistema delle equazioni-base è unico per tutti i sistemi e il passaggio dall'uno all'altro avviene senza alcuna difficoltà mediante le relazioni di conversione (n. 3).

La tabella che segue, già molto ampia, può venire ulteriormente estesa senza alcuna difficoltà.

Si noti come [γ_o] sia presente con esponente non nullo nelle grandezze elettromagnetiche in senso stretto, cioè che nella definizione contengono allo stesso tempo grandezze elettriche e grandezze magnetiche. La presenza di questa unità, di consueto ignorata, permette di distinguere dimensionalmente, ad es., tra intensità di corrente e forza magnetomotrice, tra forza magnetica e intensità lineica di corrente.

Bibl.: Consiglio Naz. delle Ricerche, Unità fisiche fondamentali, principali e derivate, Progetto CIM-UNI, Milano 1954; Grandeurs, unités, symboles, facteurs de conversion, Tabelle della ISO elaborate o in via di elaborazione dalla ISO/TC 12; F. Avcin, Osnove, metrologije, Lubiana 1952; E. Perucca, Fisica, generale e sperimentale, I, Torino 1960; U. Stille, Messen und Rechnen in der Physik, Braunschweig 1955; J. Wallot, Grössengleichungen, Einheiten und Dimensionen, Lipsia 1957.