IPERSTATICI, SISTEMI

IPERSTATICI, SISTEMI

. Si chiamano iperstatici o, meno propriamente, staticamente indeterminati quei sistemi di solidi per i quali le reazioni dei vincoli interni ed esterni non possono determinarsi con le sole equazioni di equilibrio dei corpi rigidi. Tali sistemi si presentano frequentissimi anche nelle più semplici costruzioni. Basti pensare che se in un sistema piano si hanno più di due appoggi semplici (di cui uno scorrevole) o più di un incastro il sistema è già iperstatico rispetto ai vincoli esterni. Del pari se il collegamento fra due elementi del sistema è rigido, ossia tale che l'angolo formato dagli assi di quegli elementi sia costretto a mantenersi invariato durante l'azione delle forze agenti sul sistema, esso risulta pure iperstatico rispetto ai vincoli interni. Un sistema reticolare piano è sempre iperstatico rispetto ai vincoli interni appena due aste s'incrociano.

Esempî di sistemi iperstatici: la trave con un appoggio e un incastro o con due incastri alle estremità, la trave continua, l'arco a due cerniere o incastrato, le travi reticolari con aste incrociantisi o con nodi rigidi o con due cerniere fisse, i portali semplici e multipli, le cupole.

L. F. Menabrea e A. Castigliano mostrarono come dalla considerazione dell'elasticità del sistema si possono dedurre altre equazioni dette equazioni di elasticità che, in aggiunta a quelle della statica, permettono di determinare tutte le incognite del problema. Si deve al Menabrea nel 1857 il teorema del minimo lavoro o principio di elasticità e al Castigliano nel 1879 l'applicazione e l'estensione di questo teorema e l'aggiunta del teorema delle derivate del lavoro.

Agli stessi risultati si è pervenuti in seguito mediante l'applicazione del teorema dei lavori virtuali, che, tentata dapprima dal Clapeyron e dal Dorna, fu effettuata con chiara ampiezza da O. Mohr e da H. F. B. Müller-Breslau.

Applicazione del teorema dei lavori virtuali. - Nei sistemi elastici si distinguono: a) le travature reticolari, formate da solidi ad asse rettilineo (aste), articolati a cerniera tra loro all'estremità in punti detti nodi, e che risultano sollecitati a soli sforzi assiali, se i carichi sono applicati alle cerniere, supposte senza attrito; b) i sistemi composti da uno o più solidi sollecitati a sforzo normale, flessione e taglio; c) i sistemi combinati, risultanti da solidi sollecitati come quelli di cui in b) e in a).

a) Limitando l'indagine ai sistemi piani si osserva che una travatura è iperstatica se fra il numero K dei nodi, quello r delle aste, n degli appoggi fissi e n′ degli scorrevoli, esiste la diseguaglianza:

giacché il primo membro 2 K rappresenta il numero delle equazioni fornite dalla statica dei corpi rigidi, considerando l'equilibrio di tutti i nodi della travatura, e il secondo membro il numero delle quantità da determinare. Se il numero di queste supera di m il numero 2 K delle equazioni, la travatura si dice m volte staticamente indeterminata.

Ogni travatura iperstatica può rendersi staticamente determinata o isostatica, sopprimendo alcune aste e alcuni vincoli, che si chiamano sovrabbondanti. La travatura che ne risulta si dice principale e le aste e appoggi che le corrispondono si dicono elementi essenziali. Da una stessa travatura iperstatica possono ricavarsi varie travature principali, fra le quali si sceglie quella che rende lo sviluppo dei calcoli più semplice.

Data una travatura iperstatica (fig. 1 a) la si trasformi in una travatura principale; il regime degli sforzi S nelle aste essenziali non verrà alterato se s'immaginano sostituiti gli sforzi interni delle aste sovrabbondanti eliminate e le reazioni di appoggio sovrabbondanti con forze esterne incognite equipollenti X′, X″, X‴. (fig. 1 b) che si chiamano quantità iperstatiche.

Poiché le equazioni di equilibrio attorno alle cerniere sono lineari, la relazione che lega lo sforzo S di un'asta e la reazione R di un appoggio alle forze P e X applicate alla travatura deve essere lineare; cosi sarà:

Nelle (1) S₀ e R₀ rappresentano gli sforzi e le reazioni della travatura principale, quando su essa agiscono soltanto i carichi P, applicati ai nodi, e siano nulle tutte le X; S′ e R′ i valori di S e di R nell'ipotesi che sulla travatura principale agisca soltanto la X′ = 1 e siano nulli tutti i carichi P e tutte le altre X, ipotesi questa che si suole indicare come stato di sollecitazione X′ = 1; S″ e R″ sono similmente i valori di S e di R nello stato di sollecitazione X″ = 1, e così via.

Le S′, S″, S‴,..., R′, R″, R‴, ..., dipendono soltanto dalla configurazione geometrica del sistema. Si noti intanto che le S′ fanno equilibrio alle R′, quando si consideri X′ = 1. Analogamente le S″ e le R″, considerando X″ = 1, si fanno equilibrio, e via dicendo.

Supponiamo adesso di dare alla travatura una deformazione arbitraria piccolissima in dipendenza della quale la lunghezza s delle aste varii della quantità Δs, il nodo cui è applicato un carico P si sposti di δ nella sua direzione e un punto d'appoggio si sposti di η secondo la direzione della corrispondente reazione R. Se le quantità arbitrarie Δs, δ e η sono piccolissime e geometricamente possibili rispetto alla travatura data, può applicarsi il teorema dei lavori virtuali al sistema delle forze in equilibrio S, R e P e al sistema degli spostamenti arbitrarî Δs, δ e η.

Circa l'arbitrarietà di questi spostamenti si osservi la limitazione della loro possibilità geometrica: assegnate, ad es., le Δs e le η, ne restano definite le δ e assegnando le δ e le η conseguono le Δσ.

Si osservi che il lavoro virtuale delle S viene dato, a meno di infinitesimi d'ordine superiore, dalla somma dei prodotti del valore eguale delle due S, che agiscono all'estremità della corrispondente asta, per lo spostamento competente a ciascun nodo, perché si effettui la variazione Δs, ossia dal prodotto di S (valore comune) per lo spostamento relativo dei nodi estremi dell'asta, che vale Δs.

Ora, poiché le tensioni interne in un solido elastico contrastano sempre la deformazione che al solido si fa subire, i prodotti S. Δs sono tutti negativi e il teorema dei lavori virtuali si potrà dunque scrivere:

ovvero, sostituendo le (1):

La (2) vale qualunque sia il sistema delle forze in equilibrio sulla travatura e qualunque sia il sistema degli spostamenti piccolissimi e geometricamente possibili, sarà quindi anche valida se il sistema di forze in equilibrio sia dato dalle S′ e dalle R′ (ivi compresa la X′) o dalle S″ e dalle R″ (ivi compresa la X″), ecc., e il sistema degli spostamenti Δs, δ e η quello corrispondente alla deformazione della travatura iperstatica data, nelle condizioni di carico dato.

Sarà dunque in generale:

ovvero:

Di queste equazioni se ne possono scrivere tante quante sono le X. Esse permettono quindi di determinare le quantità iperstatiche subito che saremo in grado di esprimere le η e le Δs in funzione dei carichi P e delle stesse X.

Le Δs sono le variazioni elastiche e termiche della lunghezza delle aste in dipendenza degli sforzi S e di una variazione di temperatura di t gradi rispetto a quella di montaggio; se quindi con Ω indichiamo la sezione trasversale dell'asta lunga s, formata con materiale, il cui modulo di elasticità a tensione normale sia E, il coefficiente di dilatazione termica lineare α sarà:

Le η o dipendono dalle deformazioni elastiche dei corpi su cui la travatura si appoggia e allora possono esprimersi in funzione delle R (e quindi delle X) e delle caratteristiche geometriche ed elastiche degli appoggi, o sono cedimenti anelastici e in tal caso occorre supporli noti, ciò che si riduce a misurarli in un calcolo di verifica per una struttura esistente o a porli eguali a zero nel calcolo di progetto, prescrivendo che nell'esecuzione possa realizzarsi questa ipotesi.

Supposto perciò di potere esprimere le η in qualsiasi modo come funzioni delle X o come costanti, le (3), mediante la (4), diventano:

Queste equazioni si chiamano equazioni di elasticità e sono come le (3) tante quante le X. Sostituendovi i valori di S e di R dati dalle (1) si ha un sistema di equazioni lineari fra le X:

dalle quali si ricavano le X′, X″,... che, sostituite nelle (i), dànno in definitiva i valori degli sforzi S nelle aste e le reazioni R dei vincoli.

Alle (5) si può anche dare la forma:

In esse &out;lⁱ è la derivata parziale rispetto a Xⁱ dell'espressione:

che rappresenta il lavoro delle reazioni di appoggio per il sistema degli spostamenti η.

Se la travatura è staticamente indeterminata rispetto ai vincoli esterni le R sono funzioni delle X′, X″,... e quindi R′, R″,... sono diverse da zero, con che anche i secondi membri delle (6) risultano diversi da zero e ogni spostamento η degli appoggi farà sentire la sua influenza nel valore delle X. Ciò non avviene però se l'iperstaticità dipende esclusivamente dalla presenza di aste sovrabbondanti, poiché in questo caso, R′η, R″ η, ... sono nulle e così i prodotti R′ η, R″ η,.... Ne consegue che gli spostamenti degli appoggi, purché tali da non alterare sensibilmente la configurazione geometrica del sistema, non esercitano alcuna influenza sul regime degli sforzi interni di una travatura, tanto se isostatica, quanto se iperstatica solamente per la presenza di aste sovrabbondanti.

Se poi le aste sono tutte dello stesso materiale cosicché sia α = cost., una variazione uniforme di temperatura, tale che per ogni asta sia Δs = θs con θ "costante, non produce alcun efletto sul valore degli sforzi S nelle aste se la travatura è iperstatica per la presenza di sole aste sovrabbondanti.

In questo caso infatti, come si è visto, R′, Rn,..., sono nulle e le (3) diventano:

vale a dire:

che, sostituite nelle (6), annullano il termine dipendente da t e però le X′, X″,... e quindi le S non risultano funzioni di t.

Il Menabrea enunciò il suo teorema del minimo lavoro o principio di elasticità in questo modo: Quando un sistema elastico si mette in equilibrio sotto l'azione di forze esterne, il lavoro sviluppato per effetto delle tensioni o compressioni dei legami che uniscono i diversi punti del sistema è nn minimo. E il Castigliano che ne fece larghe applicazioni lo espresse: Le tensioni che hanno luogo dopo la deformazione hanno i valori che rendono minimo il lavoro di deformazione.

Supposti rigidi gli appoggi ossia le η = 0 e chiamato lavoro di deformazione della travatura l'espressione:

le equazioni fondamentali (3) che per le η = 0 diventano:

coincidono con le:

che sono le condizioni analitiche perché l'espressione L, considerata come funzione delle variabili indipendenti X′, X″,... passi per un massimo o per un minimo. Si dimostra che è un minimo.

L'interpretazione fisico-matematica che si è data a questo teorema, che pure è stato fecondissimo di utili applicazioni, ha dato luogo a lunghe e aspre discussioni.

Il Colonnetti ha però chiarito in modo preciso e inequivocabile la questione con l'introdurre il concetto di potenziale e dimostrando che: 1. fra tutte le configurazioni possibili del corpo elastico, l'unica equilibrata è quella per cui l'energia potenziale è minima; 2. fra tutte le configurazioni equilibrate l'unica possibile è quella per cui la funzione L, detta convenzionalmente lavoro di deformazione, è minima.

b) Si consideri un solido il cui asse geometrico sia in un piano nel quale si trovino anche tutte le forze che sollecitano il solido. Questo in generale sarà in ogni sua sezione sottoposto a uno sforzo normale N, a un momento flettente M e a uno sforzo di taglio T; le corrispondenti tensioni unitarie che si sviluppano sono le normali

e le tangenziali

(v. costruzioni), purché il raggio di curvatura del solido sia piccolo rispetto alle sue dimensioni trasversali radiali.

Le tensioni interne sono diffuse in tutto il solido, esse fanno equilibrio ai carichi P applicati e alle reazioni dei vincoli, che indicheremo con R se forze e con C se coppie.

Poiché si tratta di un sistema piano le equazioni della statica dei corpi rigidi sono tre; se adunque le reazioni dei vincoli dànno luogo a tre sole incognite, il sistema è staticamente determinato o isostatico, se invece il numero m delle incognite è maggiore di tre ci troviamo in presenza di un sistema iperstatico il cui grado di iperstaticità viene dato dalla differenza m - 3. Se però all'interno del solido esistono delle cerniere, per ognuna di esse si avrà un'equazione di equilibrio. L'iperstaticità resta quindi diminuita di un grado per ogni cerniera interna esistente. La considerazione della elasticità del sistema ci permetterà di ricavare le altre equazioni necessarie alla determinazione delle incognite, per mezzo dell'applicazione del teorema dei lavori virtuali.

Se in seguito a una deformazione virtuale piccolissima e compatibile con i vincoli, un elemento ds di fibra del solido di sezione dΩ subisce un allungamento εδs e uno scorrimento γds, il lavoro di deformazione di tutto il solido sarà:

e per

essendo gl'integrali estesi a tutto il volume del corpo.

Se con δ e η indichiamo rispettivamente gli spostamenti virtuali delle P e delle R, come detto per le travature reticolari e con θ le rotazioni virtuali relative alle coppie C, che nei sistemi reticolari non esistono, il noto teorema dei lavori virtuali conduce alla:

la quale è valida qualunque sia il sistema delle forze in equilibrio sul solido e qualunque sia il sistema degli spostamenti, purché piccolissimi, geometricamente possibili e compatibili con i vincoli.

Perché possa applicarsi la (10) occorre traslormarla prendendo come sistema in equiliurio carichi, reazioni e tensioni interne dovute a una condizione di carico indicata con l'indice a e come sistema di spostamenti virtuali quelli corrispondenti a una condizione di carico di indice b. Ricordando che:

e quindi sostituendo nella (10) le espressioni di σ e τ in funzione di N, M e T si perviene alla:

in cui si è tenuto solo conto di una variazione uniforme di temperatura.

Il sistema iperstatico (fig. 2 a) può sempre trasformarsi in un sistema principale isostatico (fig. 2 b), riducendo alcuni vincoli.

Questa trasformazione può operarsi in più modi. Dato un sistema iperstatico, se sostituiamo con forze e coppie X′, X″, X‴,... equipollenti i vincoli sovrabbondanti, il regime delle tensioni interne non viene alterato. Sarà quindi possibile esprimere le reazioni dei vincoli e le sollecitazioni in funzione delle X così:

in cui R₀, C₉, N₀, M₀, T₀, sono i valori di R, C, N, M, T, quando agiscono i soli carichi P sul sistema principale e siano nulle le X, e siano Rⁱ, Cⁱ, Nⁱ, Mⁱ, Tⁱ i valori delle stesse quantità quando il sistema si trovi nello stato di sollecitazione Xⁱ = 1, cioè tale che tutte le altre X siano nulle e siano pure nulli tutti i carichi P. Si osservi che Xⁱ = 1 e Rⁱ, Cⁱ formano un sistema di forze in equilibrio, e però può ad esso applicarsi il teorema dei lavori virtuali, assumendo come sistema degli spostamenti quello che si verifica nel sistema dato nella condizione di carico data. Sarà allora:

&out;lⁱ rappresenta il lavoro virtuale delle reazioni dei vincoli per lo stato di sollecitazione Xⁱ = 1.

Sostituendo i valori di N, M, T, dati dalle (12), le equazioni del tipo della (13), che sono in numero esattamente eguale a quello delle X, ci forniscono un sistema di equazioni lineari fra le X e si chiamano equazioni di elasticità. Circa i valori di η e θ vale quanto si è detto a proposito degli spostamenti degli appoggi nelle travature reticolari.

I primi membri &out;l′, &out;l″,..., o dipendono dall'elasticità dell'elemento di sostegno e dai valori delle reazioni o sono nulli o noti. Ordinariamente si cerca di renderli trascurabili. Si noti che:

e quindi la (13) prende la forma:

la quale può essere conveniente per il calcolo di N, M, T, nonché per mostrare come le equazioni di elasticità possono anche essere dedotte dal teorema del minimo lavoro.

Le espressioni relative ai sistemi reticolari possono anche darsi in funzione esplicita degli spostamenti dei punti del sistema. Si indichino con om; lo spostamento che subisce il punto di applicazione m del carico P_m nella direzione di questo nello stato di sollecitazione Xⁱ = 1, δ_ki lo spostamento del punto K nella direzione di X_k nello stato di sollecitazione Xⁱ =1, δ_kt lo spostamento del punto K nella direzione X_k per effetto della sola variazione di temperatura nella travatura principale. Ciò posto si stabilisce che nella determinazione di questi spostamenti gli appoggi della travatura principale siano assolutamente rigidi. Il teorema dei lavori virtuali applicato al sistema di forze in equilibrio P_m, S₀, Xⁱ = 1 e Sⁱ, ci dà:

e quindi:

Pertanto se si mette in evidenza il lavoro della X nello stato di sollecitazione Xⁱ = 1 e che mediante il prodotto di 1 × δi = allo spostamento del punto di applicazione di Xⁱ nella sua direzione in questo stato di sollecitazione, le (13) diventano:

dove &out;l′, &out;l″, ..., sono i lavori virtuali delle reazioni della travatura principale per i casi di sollecitazione rispettivamente X′ = 1, X″ = 1,.... Queste equazioni sono specialmente utili quando si debba considerare l'influenza d'ogni singolo carico, poiché gli spostamenti dei nodi si possono in genere determinare in modo molto semplice per via grafica o numerica.

Analogamente per i sistemi sottoposti a sforzo normale, flessione e taglio si dimostra, adottando le stesse notazioni per gli spostamenti, che:

per un'uniforme variazione di temperatura. Mettendo quindi in evidenza i lavori virtuali delle X, e indicando con δ₁, δ₂, ..., gli spostamenti in direzione di X′, X″,... negli stati di sollecitazione X′ = 1, X″ = 1, ... e &out;l′, &out;l″,... i lavori virtuali delle reazioni di appoggio del sistema principale per i corrispondenti stati di sollecitazione di X′ = 1, X″ = 1,... le equazioni (14) assumono la forma:

c) Nei sistemi combinati si utilizzano le formule trovate riunendo insieme i termini relativi ai due tipi trattati.

Metodo dell'ellisse di elasticità. - Se le lncognite iperstatiche (non più di tre) dipendono da un eccesso di vincoli esterni, torna molto utile, per i procedimenti grafici che ne derivano, l'impiego del metodo delle piccole rotazioni o della ellisse di elasticità.

La struttura elastica fondamentale è il solido (pieno o reticolare) incastrato a un estremo e libero all'altro in cui si considerano gli spostamenti e la rotazione di un punto A dell'estremo libero (punto terminale) o di un punto rigidamente collegato ad esso (cioè tale che non subisca rispetto ad A rotazione o spostamento alcuno).

Data la piccolezza delle deformazioni elastiche lo spostamento di A può intendersi dovuto a una rotazione infinitamente piccola ϕ attorno a un centro di istantanea rotazione O e tale rotazione quale risultante delle singole rotazioni ϕ₁, ϕ₂,... che A subisce attorno a varî centri O₁, O₂,..., in corrispondenza delle deformazioni elastiche di ciascuno degli elementi in cui può pensarsi scomposto il solido elastico. La rotazione ϕ equivale alla somma di ϕ₁ + ϕ₂ + ϕ₃ + ... e il centro O si trova quale baricentro dei centri O₁, O₂, O₃, ..., affetti ciascuno rispettivamente dal coeffificiente ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃,.... È inoltre facile vedere che lo spostamento di A secondo una direzione assegnata qualsiasi AA′ è dato dal prodotto dell'angolo ϕ_i, per la distanza del relativo centro O_i dalla direzione data AA′.

È noto ancora come tutte le deformazioni siano proporzionali alle sollecitazioni che le provocano; la rotazione ϕ_i può ritenersi dovuta a un momento M e però sarà ad esso proporzionale. Il coefficiente w per il quale occorre moltiplicare M per ottenere ϕ si dice peso elastico giacché esso dipende dalle dimensioni dell'elemento e dalle sue costanti elastiche.

Sia una travatura reticolare (fig. 3), si cerchi la rotazione dell'estremo terminale A per effetto della deformazione della sola asta mn lunga s e di sezione Ω. Fatta una sezione di Ritter sia O il polo di mn e r la sua distanza da mn. Lo sforzo nell'asta vale:

in cui M è il momento di tutte le forze agenti sulla travatura da una parte della sezione rispetto al punto O.

Supposte rigide tutte le aste a eccezione della mn la rotazione di A non può avvenire che attorno a O. L'angolo ϕ sarà dato dal rapporto tra la variazione di lunghezza dell'asta Δs e la r, quindi:

Per la definizione precedente è:

il peso elastico dell'asta m n e il punto O il centro di A.

La rotazione ϕ_A di A per la deformazione elastica di tutto il sistema sarà la somma delle singole ϕ dovute a ciascuna delle aste della travatura e il centro G relativo a ϕ_A il baricentro delle ϕ considerate come forze applicate ai poli delle aste corrispondenti.

Si noti che la grandezza di ϕ dipende da M ma la posizione del centro O ne è indipendente.

Chiamando con Δx e Δy gli spostamenti di A secondo due assi Ax e Ay passanti per A sarà:

Da un sistema iperstatico per rispetto ai vincoli esterni può sempre ricavarsi un sistema principale come quello della fig. 3 liberando un estremo dal vincolo e sostituendovi le reazioni corrispondenti che si scelgono come quantità iperstatiche X. Le M saranno funzione dei carichi P dati e delle X. Le quantità ϕ_A, Δy e Δx o sono note, o si suppongono eguali a zero se il vincolo è rigido, o si esprimono in funzione delle X e delle caratteristiche elastiche dell'appoggio. Le (3) sono dunque delle relazioni fra i carichi applicati, le incognite iperstatiche e le caratteristiche geometriche ed elastiche del sistema; esse possono far determinare fino a tre incognite iperstatiche e si chiamano equazioni di elasticità. Il sistema dei pesi w concentrati ai relativi poli ammette un'ellisse centrale d'inerzia che si chiama ellisse di elasticità perché i corrispondenti pesi sono detti elastici. Se si sceglie il baricentro elastico G del sistema come punto rigidamente connesso all'estremo terminale A e si riferiscono gli spostamenti di G a due assi passanti per G e coniugati rispetto all'ellisse di elasticità di tutta la travatura, le (3) si semplificano notevolmente e ciascuna viene a contenere una sola incognita iperstatica.

Le costruzioni grafiche relative si fanno per mezzo di semplici poligoni funicolari con opportuna scelta di scale. Nelle applicazioni si sogliono trascurare come poco influenti le deformazioni delle aste di parete.

Nelle travi a parete piena il sistema principale è sempre il solido incastrato a un estremo e libero all'altro, sul quale si prende il punto terminale A. Si osserva anzitutto che se una forza F agisce su A per mezzo di un legame rigido, la posizione del centro O attorno a cui ruota A non dipende dall'intensità della forza, ma soltanto dalla sua direzione. Fra la direzione di F e la posizione di O esiste una polarità, la cui conica fondamentale è immaginaria, mentre se si considerano i punti simmetrici ai centri O rispetto al centro G del sistema ossia al centro la cui polare è la retta all'infinito del piano, la corrispondente polarità che si viene a stabilire ha per conica fondamentale un'ellisse reale. In questa polarità direzione di F e posizione di O sono definite come polare e antipolo.

Portando la forza F a passare da G si genera il momento M = Ff (fig. 4). La forza F passante per G ha per antipolo un punto all'infinito e però non provoca la rotazione di A, il quale ruota di ϕ proporzionalmente a M e solo a causa di esso. Così:

Anche in questo caso il coefficiente di proporzionalità si dice peso elastico perché dipende dalle dimensioni del solido e dalle sue caratteristiche elastiche. Lo spostamento δ di A secondo una direzione assegnata AA′ è dato dal prodotto della rotazione ϕ per la distanza d del centro di rotazione O da AA′. e quindi:

Si può immaginare distribuito uniformemente su tutto il sistema il peso elastico w allo stesso modo di una massa continua cosicché l'ellisse centrale d'inerzia coincida con l'ellisse di elasticità e il baricentro dei pesi elastici col centro dell'ellisse; l'antipolarità fra direzione di F e centri O viene così mantenuta e valgono le costruzioni note per la polarità definita dall'ellisse d'inerzia.

Dalle (4) e (5) si ricava che la rotazione ϕ è data dal prodotto della forza F per il momento statico di w rispetto a F e lo spostamento δ dal prodotto di F per il prodotto d'inerzia di w preso rispetto alla direzione della forza e a quella dello spostamento. Sono queste le osservazioni che conducono all'applicazione dei metodi grafici mediante l'uso dei poligoni funicolari.

Se il solido è divisibile in tronchi per ciascuno dei quali sia facile determinare il peso elastico, l'ellisse di elasticità relativa all'estremo terminale A e il centro corrispondente, la rotazione totale ϕ_A e gli spostamenti δx e δy di A secondo due direzioni assegnate potranno ricavarsi dalla somma algebrica dei valori elementari relativi a ciascun tronco.

Possono così formarsi altre tre equazioni di tipo simile alle (3) che permettono di determinare tanto per via grafica quanto per via analitica tre incognite iperstatiche. Il metodo si presta poi assai per la formazione delle linee d'influenza delle X.

Bibl.: L. F. Menabrea, Nouveau principe sur la distribution des tensions dans les systèmes élastiques, in Comptes rendus de l'Académie des Sciences, XLVI (1858), 31-5; id., Étude de statique physique. Principe générale pour déterminer les pressions et les tensions dans un système élastique, memoria della R. Accademia di Torino, s. 2ª, XXV; id., Sul principio di elasticità. Delucidazioni, Torino 1870; A. Castigliano, Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques, Torino 1879; H. E. Muller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, Lipsia 1913 (trad. ital., Milano 1927); G. Colonnetti, Principî di statica dei corpi elastici, Pisa 1916; G. Nicolosi, Discussioni e dimostrazioni intorno ai teoremi di Menabrea, Castigliano, Betti, in Giornale del Genio civile, LIV (1921); M. Greco, Lezioni di scienza delle costruzioni, Palermo 1922; C. Guidi, Lezioni sulla scienza delle costruzioni, II, Torino 1929; K. Culmann, Die graphische Statik, Zurigo 1875; W. Ritter, Der elastische Bogen, Zurigo 1886; id., Anwendungen der graphische Statik, Zurigo 1888-1906.