skewness

skewness

Misura dell’asimmetria di una distribuzione di probabilità (➔) di una variabile aleatoria (➔), tenuto conto che la simmetria in probabilità è essenzialmente equivalente alla simmetria assiale della funzione di densità o di massa di probabilità. In particolare, una distribuzione continua si dice simmetrica intorno al punto x₀ se la funzione di densità f(x₀+x) coincide con f(x₀−x), per ogni x.

Tra le distribuzioni discrete, quella binomiale di parametri N arbitrario e p=1/2 è simmetrica intorno alla media N/2. Tra le distribuzioni continue, quella uniforme in (a,b) è simmetrica intorno al punto x₀=(b−a)/2, quella normale (➔ gaussiana, distribuzione) a media μ (➔ media) e varianza σ² (➔ varianza) è simmetrica intorno al punto x₀=μ.

Esistono diversi indici per la misura del grado di asimmetria di una distribuzione, la maggior parte dei quali ha valore pari a zero in situazione di simmetria (questa è una condizione necessaria ma non sufficiente). Tali indici si basano su alcune caratteristiche particolari delle distribuzioni simmetriche. Le distribuzioni continue e simmetriche hanno la proprietà che media e mediana coincidono e che i momenti centrati di ordine dispari sono nulli. Inoltre, se una distribuzione è simmetrica in x₀, vale la seguente relazione tra i quantili: per ogni 0<p≤1/2, il quantile di grado p-esimo ξ_p è uguale a ξ_p=2x₀−ξ_1−p. Su questa proprietà si basano alcune misure di asimmetria, come quella di Galton, che considera la distanza da zero di ξ_p+ξ_1−p−2x₀, per p=1/4. L’indice di asimmetria più noto, generalmente chiamato s., si basa sul momento terzo centrato: γ=m₃/√1m³₂, dove, per una variabile aleatoria X di media μ, m_i=E(X−μ)ⁱ. A differenza degli indici basati sui quantili, l’uso di questo indice è invece limitato a distribuzioni che hanno i primi 3 momenti (➔ momenti, funzione generatrice dei). Ogni distribuzione simmetrica di questo tipo ha γ=0, poiché il suo terzo momento centrato è nullo. Tale indice di asimmetria è positivo o negativo a seconda che la massa della distribuzione sia concentrata a sinistra o a destra. Un indice di asimmetria pari a zero non implica però necessariamente che la distribuzione sia simmetrica.