SMORZAMENTO

SMORZAMENTO

. Quando un corpo oscilla attorno a una posizione di equilibrio, verso la quale è richiamato da forze di tipo elastico, proporzionali allo spostamento (come ad es., un pendolo, una corda tesa, ecc.) e il suo movimento è ostacolato da resistenze di attrito, o assimilabili a queste, l'ampiezza di oscillazione non si mantiene costante, ma decresce col tempo; si dice allora che il sistema eseguisce "oscillazioni smorzate". Ciò dipende dal fatto che l'energia potenziale posseduta dal sistema nell'istante della massima elongazione non si trasforma interamente in energia cinetica durante il movimento verso la posizione di equilibrio; ma in parte è trasformata in calore a causa delle resistenze di attrito, le quali si chiamano per questo "dissipative".

Il problema di determinare il moto di un corpo, sollecitato da forze elastiche e soggetto a resistenze dissipative, si può facilmente risolvere quando si ammetta che la resistenza di attrito, costantemente diretta in senso contrario al movimento, sia in ogni istante proporzionale alla velocità del mobile, ed abbia dunque l'espressione

in tal caso infatti l'equazione differenziale del moto assume la forma:

la quale esprime il secondo principio della dinamica, nell'ipotesi che le forze agenti siano rappresentate dalla forza elastica proporzionale allo spostamento (−β² x) e dalla resistenza di attrito

L'equazione scritta sopra si lascia facilmente integrare, e, nell'ipotesi che l'attrito sia abbastanza piccolo (α² 〈 2 β √m), fornisce l'equazione del moto oscillatorio smorzato:

(k ed ω essendo opportune costanti). Questo moto si può considerare come un moto armonico la cui ampiezza (ae^-kωt) decresce col tempo con legge esponenziale e tende a zero quando t tende all'infinito.

La costante ω è legata al periodo delle oscillazioni, T, dalla nota relazione:

Si vede dalla equazione del moto che le elongazioni x₀, x₁, x2, x₂, x₃. . . ai tempi 0, T, 2 T, 3 T, ecc., sono rappresentate dalla successione di termini

i quali formano una progressione geometrica di ragione e^-2πk. Ne deriva che il rapporto:

cioè la variazione percentuale di ampiezza tra due oscillazioni successive, ha il valore:

a questo rapporto costante si dà il nome di "smorzamento delle oscillazioni" mentre il coefficiente k si chiama "coefficiente di smorzamento"; esso è legato alla "costante di attrito" α² dalla relazione:

Risultati identici si ottengono nello studio della scarica di un condensatore di capacità C, attraverso un circuito avente una resistenza R e un'induttanza L. La carica q del condensatore è una funzione del tempo che soddisfa all'equazione differenziale:

analoga a quella stabilita poc'anzi. Si vede di qui che la scarica del condensatore avviene mediante una successione di oscillazioni smorzate (scarica oscillante smorzata), se risulta:

il periodo T delle oscillazioni risulta approssimativamente espresso dalla nota formula di Thomson T = 2π √LC, ed il coefficiente di smorzamento k si ottiene dalla relazione:

e risulta quindi tanto minore quanto più piccola è la resistenza elettrica del circuito, e quanto maggiore è la sua induttanza.