soluzione

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soluzione in algebra, per un’equazione o disequazione in un’incognita, ognuno dei valori che, sostituiti all’incognita, rendono vera la formula (o, come anche si dice, la soddisfano). Per le equazioni, in particolare quelle polinomiali, è talvolta usato come sinonimo il termine radice. Se l’equazione o la disequazione ha n incognite, o comunque è definita in una struttura n-dimensionale (per esempio Rⁿ o Cⁿ), ogni singola soluzione è una n-pla. Poiché una equazione o una disequazione può avere nessuna, una, un numero finito oppure infinite soluzioni, si parla di insieme delle soluzioni: è l’insieme di tutti e soli i valori che soddisfano l’equazione o disequazione e può essere vuoto, finito, infinito o anche coincidere con l’intero insieme in cui è definita l’equazione o la disequazione stessa. Se l’insieme delle soluzioni di un’equazione coincide con l’insieme in cui è essa è definita, l’equazione è detta identità. È per esempio un’identità l’equazione x(x + 1) = x ² + x, definita in R, perché qualunque numero reale la soddisfa. In un sistema di formule (→ sistema), è soluzione ogni n-upla che soddisfa tutte le formule che fanno parte del sistema stesso. In una equazione differenziale, della forma generale F(y⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁻¹⁾, …, y′, y, x) = 0 una soluzione (in tale contesto detta anche integrale) è ogni funzione y(x) che sostituita a F insieme a tutte le sue derivate la trasforma in una identità in un determinato intervallo. In tale contesto, si distingue tra soluzione generale, costituita da una famiglia di funzioni dipendente da alcuni parametri, soluzione particolare, ottenuta fissando i valori dei parametri che rappresentano le condizioni iniziali, e soluzione singolare che, pur risolvendo l’equazione, non appartiene a tale famiglia.