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somma diretta

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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somma diretta

Luca Tomassini

Sia {Aα,α∈I} una famiglia di insiemi indicizzata dall’insieme I e sia πΑ∈I Aα il prodotto diretto (o cartesiano) dei suoi elementi Aα. Un elemento di πΑ∈I Aα è allora un’applicazione xα=x(α) che fa corrispondere a ogni α∈I un elemento xα di Aα. Se su tutti gli insiemi Aα è definita una medesima struttura algebrica quale quella di gruppo, spazio vettoriale, algebra o anello, il loro prodotto diretto la eredita in modo naturale. Se l’insieme degli indici I ha un numero finito n di elementi, il prodotto diretto si identifica con l’insieme delle n-uple ordinate di elementi degli (x1,...,xn) con xi=Ai. Sul prodotto diretto sono definite le proiezioni Pα:πΑ∈IAα→Aα tramite la relazione Pα(x)=xα. Supponiamo ora che ciascuno degli insiemi Aα sia uno spazio vettoriale (per es. un’algebra). La somma diretta (algebrica) ∑Α∈IAα degli insiemi Aα (talvolta indicata con il simbolo ⊕α∈I Aα) è allora definita come quel sottoinsieme (di fatto un sottospazio) del prodotto cartesiano πΑ∈I Aα consistente di quelle applicazioni (elementi) x:I→πΑ∈I Aα che hanno supporto finito, ovvero tali che xα=x(α)=0α (il simbolo 0α indica lo zero dello spazio Aα) tranne che per un numero finito di α∈I. Ogni spazio vettoriale è somma diretta di spazi vettoriali unidimensionali e una simile decomposizione equivale alla scelta di una base. Notiamo che l’elemento essenziale della definizione di somma diretta è l’esistenza di un elemento neutro negli insiemi Aα. Per questa ragione la somma diretta può essere introdotta anche nel caso di anelli.

→ Invarianti, teoria degli

Vedi anche
geometria In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia lo spazio e le figure spaziali. 1. Cenni storici 1.1 L’antichità. - L’origine della geometria è legata a concreti problemi di misurazione del terreno (nacque a scopi agrimensori nella zona del delta del Nilo); si trattava quindi essenzialmente ... autovettore In matematica, autovettore di una trasformazione lineare T è un vettore A la cui direzione non varia per l’applicazione di T: cioè TA=kA, con k grandezza scalare, autovalore (➔) della trasformazione. addizione matematica Operazione aritmetica mediante la quale si trova la somma di due o più numeri (detti addendi o termini). Nell’accezione più comune il termine addizione si riferisce al caso dei numeri interi positivi. Nell’ambito dei numeri cardinali l’addizione si definisce in questo modo: date due collezioni ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’algebra studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. ● La parola al-giabr è usata ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • SPAZIO VETTORIALE
  • ELEMENTO NEUTRO
  • ALGEBRA
Altri risultati per somma diretta
  • somma diretta
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    somma diretta di due sottospazi vettoriali V1 e V2 di uno stesso spazio vettoriale V, aventi per intersezione il solo elemento nullo, è lo spazio vettoriale, denotato con V1 ⊕ V2, costituito da tutti i vettori della forma v1 + v2, con v1 appartenente a V1 e v2 appartenente a V2. Se V = V1 ⊕ V2, allora ...
Vocabolario
sómma
somma sómma s. f. [lat. sŭmma, propr. «il punto più alto», femm. sostantivato dell’agg. sŭmmus «sommo»]. – 1. a. In matematica, il risultato dell’operazione di addizione e, nell’uso corrente ma meno propriam., l’operazione stessa: la s....
dirètta
diretta dirètta s. f. [femm. sost. dell’agg. diretto]. – Trasmissione radiofonica o televisiva mandata in onda nello stesso momento in cui viene realizzata (contrapp. a differita): la d. di una partita di calcio; il bello della d., espressione...
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