sottogruppo

sottogruppo

sottogruppo di un → gruppo G, è un gruppo H che sia contenuto in G, in modo che le operazioni definite in H coincidano con la restrizione di quelle definite in G. Da un punto di vista più astratto, sottogruppo di G è un qualsiasi gruppo H dotato di un omomorfismo di gruppi iniettivo φ: G → H. Se S è un sottoinsieme di G, allora il sottogruppo generato da S è il più piccolo sottogruppo H di G contenente S; gli elementi di S sono detti generatori di H e si scrive H = <S>. Per esempio il gruppo moltiplicativo dei numeri razionali positivi (Q₀⁺, ⋅) è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo dei numeri razionali non nulli (Q₀, ⋅). Dunque (Q₀⁺, ⋅) ⊂ (Q₀, ⋅).

Un sottogruppo H è detto normale se, per ogni elemento g appartenente a G, le classi laterali gH e Hg coincidono: in tal caso è allora possibile definire una struttura di gruppo sull’insieme delle classi laterali G /H, rispetto alla quale esso è detto il gruppo quoziente di G modulo H (→ quoziente). Se un gruppo è commutativo, tutti i suoi sottogruppi sono normali.