sottospazio

sottospazio

sottospazio sottoinsieme E di uno → spazio S, dotato della stessa struttura algebrica e topologica di S, cioè tale che risulti a sua volta uno spazio della stessa natura di S. Tra i sottospazi di uno spazio S di dimensione n vanno inclusi anche i suoi punti e l’intero spazio S. Tali sottospazi sono detti sottospazi impropri o sottospazi banali, mentre tutti gli altri sottospazi, aventi dimensione k, con 0 < k < n, sono detti sottospazi propri. Nell’ordinario spazio euclideo tridimensionale sono sottospazi propri le rette e i piani. In uno → spazio vettoriale V_n, di dimensione n, k vettori v₁, v₂, ..., v_k, linearmente indipendenti, generano un sottospazio di dimensione k. Ogni vettore di tale sottospazio è esprimibile in modo unico (a parte l’ordine) da una combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, ..., v_k. L’insieme di tali vettori è detto base del sottospazio. In uno spazio vettoriale V_n, i sottospazi di dimensione n − 1 sono detti → iperpiani e sono rappresentati da equazioni del tipo a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 0. Un sottospazio di dimensione k < n − 1 si ottiene come intersezione di n − k iperpiani linearmente indipendenti ed è rappresentato da un sistema di n − k equazioni di iperpiano tale che la matrice dei coefficienti delle incognite abbia rango n − k.