spazio quoziente

spazio quoziente

spazio quoziente in algebra lineare, spazio vettoriale ottenuto da uno spazio vettoriale V su un campo K e da un suo sottospazio U come → insieme quoziente V/U (si legge: «V modulo U») attraverso la relazione di equivalenza ∼ così definita: v ∼ w se e solo se v − w ∈ U (è indicato anche con V /∼). La classe di equivalenza associata al vettore v è generalmente indicata con [v]. Nello spazio quoziente V/U le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare sono definite nel modo che segue, ∀u, v ∈ V e ∀k ∈ K:

• [u] + [v] = [u + v]

• k[v] = [kv]

Il risultato delle operazioni è indipendente dalla scelta dei rappresentanti di ciascuna classe di equivalenza. L’insieme V/U, dotato delle operazioni sopra definite, ha la struttura di → spazio vettoriale e la sua dimensione è detta anche codimensione di U in V ed è indicata con codim_V(U). Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita vale la seguente relazione:

Se risulta V = U ⊕ W, se cioè lo spazio vettoriale V è somma diretta dei sottospazi U e W, allora lo spazio quoziente V/U è isomorfo a W.

In topologia, l’insieme quoziente X /∼ di uno spazio topologico X rispetto a una relazione di equivalenza ∼ in esso definita può essere dotato di una topologia, detta topologia quoziente della topologia di X rispetto alla relazione di equivalenza ∼, indotta dall’applicazione ƒ: X → X /∼ che a ogni punto di X associa la classe dei punti di X a esso equivalenti. L’applicazione ƒ è detta proiezione canonica.

Un esempio di spazio ottenuto con il passaggio all’insieme quoziente è lo → spazio proiettivo di dimensione n, ottenuto come spazio quoziente di uno spazio vettoriale di dimensione n + 1, rispetto alla relazione di dipendenza lineare tra vettori.