anello, spettro di un

anello, spettro di un

anello, spettro di un in un anello commutativo unitario A, è l’insieme dei suoi ideali primi, indicato con Spec(A). Tale insieme costituisce uno spazio topologico dotato della topologia (detta topologia di → Zariski) in cui i chiusi sono tutti e soli gli insiemi della forma

dove I è un qualsiasi ideale di A. Per esempio, se Z è l’anello dei numeri interi, allora

Spec(Z) = {(p): per ogni p numero primo oppure 0}

dove (p) = pZ indica l’ideale principale generato dal numero p. Valgono le seguenti proprietà:

• V(I) ∩ V(J) = V(I + J)

• V(I) ∪ V(J) = V(IJ)

Una base della topologia di Zariski su Spec(A) è costituita dagli aperti della forma

dove ƒ è un arbitrario elemento di A e (ƒ) è l’ideale principale generato da ƒ.

Similmente allo spettro di A, si definisce lo spettro massimale di A, indicato con Maxspec(A), come l’insieme degli ideali massimali di A: lo spettro massimale di un anello coincide con l’insieme dei punti dello spettro dell’anello e tali punti appartengono ai chiusi nella topologia di Zariski.