SPIRALE

SPIRALE

. Geometria. - Si dà questo nome a svariatissime curve, generalmente piane, che hanno la proprietà di descrivere infiniti giri intorno ad un punto.

La più antica è quella che, in coordinate polari ρ e ϕ, ammette l'equazione ρ=a ϕ (dove a è una data costante) e che si suol chiamare spirale di Archimede, in quanto questi ne studiò le prime proprietà. Essa si può definire come la traiettoria di un punto che, in un dato piano, descriva di moto uniforme una retta, la quale, alla sua volta, ruoti uniformemente intorno a un suo punto O.

Come generalizzazioni della spirale di Archimede, P. Fermat considerò le curve di equazione ρ = aϕⁿ, dove n è un qualsiasi intero positivo. Ove n sia un intero negativo, la stessa equazione definisce una famiglia di spirali, che ammettono il polo delle coordinate come punto asintotico; e fra esse compare, per n = −1, la spirale iperbolica, di equazione ρ = a/ϕ.

L'invenzione dei logaritmi condusse E. Torricelli alla spirale logaritmica (il nome sembra risalire a P. Varignon) di equazione

dove a e h sono due date costanti (che si possono supporre entrambe positive) ed e denota la base dei logaritmi naturali (v. logaritmo). Questa stessa spirale fu trovata, indipendentemente, da R. Descartes, come traiettoria obliqua di un fascio di rette. Giacomo Bernoulli, che la studiò a fondo con i metodi infinitesimali, rilevò come essa sia trasformata in sé stessa da svariate trasformazioni geometriche ed ottiche. L'intima ragione di queste proprietà della spirale logaritmica risiede nel fatto, rilevato da S. Lie e F. Klein (vedi klein, felix: Curve di Klein-Lie), che essa è la traiettoria di un gruppo continuo ∞¹ di trasformazioni proiettive.

Altri esempî notevoli di spirali sono: 1. le spirali sinusoidali, di equazioni ρⁿ = aⁿ cos nϕ, le quali, se n è razionale, sono algebriche e per n = 1 si riducono ad una circonferenza, per n = 2 a una lemniscata; 2. le spirali coniche, traiettorie (sghembe) di un punto, che descriva di moto uniforme una retta, la quale, alla sua volta, ruoti uniformemente intorno a un asse incidente - ma non perpendicolare - ad essa; 3. la spirale di Sturm, caratterizzata dalla proprietà che in ogni suo punto il raggio di curvatura è uguale al corrispondente raggio vettore rispetto a un punto fisso. Quest'ultima curva, studiata da C. Sturm è un caso particolare delle curve - determinate da Jacopo Riccati (1712) - per cui il raggio di curvatura è una data funzione del raggio vettore rispetto a un punto fisso.

Bibl.: G. Loria, Curve piane speciali alg. e trasc., II, Milano 1930, capitoli 3°-4°.