stabilita

stabilità

Si consideri il problema di trovare u tale che F(u,d)=0, dove d è l’insieme dei dati da cui dipende la soluzione e F esprime la relazione (detta anche legge funzionale) che lega u a d. Supponendo che il modello matematico F(u,d)=0 sia ben posto, ovvero che esista un’unica soluzione u e questa dipenda con continuità dai dati d, risolverlo in maniera approssimata con un metodo numerico significa costruire una successione di problemi approssimati F_n(u_n,d_n)=0, con n≥1. Il parametro n è un indice del livello di difficoltà del problema approssimato (spesso è legato alla sua dimensione, ovvero al numero di gradi di libertà necessari a determinarne la soluzione). Diremo che il metodo numerico è stabile se per ogni n fissato esiste la soluzione u_n corrispondente al dato d_n, se il calcolo di u_n è unico e se u_n dipende con continuità dai dati, ovvero per ogni η>0 esiste K_n(η,d_n) tale che se ∣∣δd_n∣∣〈η allora ∣∣δu_n∣∣≤K_n(η,d_n)∣∣δd_n∣∣, avendo indicato con lo stesso simbolo ∣∣∙∣∣ delle norme opportune (non necessariamente le stesse) per l’insieme dei dati e quello delle soluzioni. Consideriamo, per es., le soluzioni numeriche ottenute risolvendo un problema di Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria con il metodo di Euler in avanti. Nella distanza fra due soluzioni ottenute in corrispondenza di due valori diversi del dato iniziale (lo scarto iniziale essendo pari a h) si osserva che in un caso la distanza decresce, mentre nell’altro tende all’infinito quando la lunghezza dell’intervallo tende all’infinito. Il primo caso, in effetti, è relativo a un passo di griglia h>0 in corrispondenza del quale il metodo di Euler in avanti è stabile, il secondo a un passo più grande che rende il metodo instabile.

→ Computazionali, metodi