struttura algebrica

struttura algebrica

struttura algebrica struttura di cui è dotato un insieme non vuoto A, costituito da elementi di natura arbitraria, se su di esso sono definite una o più operazioni, interne o esterne. Al variare del numero e del tipo di operazioni definite e delle particolari proprietà da esse soddisfatte si ottengono diversi tipi di strutture algebriche. L’insieme A è detto sostegno della struttura, mentre con struttura algebrica ci si riferisce all’insieme costituito dal sostegno e dalle operazioni su di esso definite.

Se su A è definita un’operazione binaria interna #: A × A → A, allora la coppia (A, #) è detta → gruppoide (o magma); equivalentemente, si dice che A è dotato della struttura algebrica di gruppoide (o di magma). L’unica proprietà che si richiede che debba essere soddisfatta è quella di chiusura, insita nella definizione stessa di operazione binaria interna, vale a dire che per ogni a, b appartenenti ad A, a # b appartiene ad A. L’operazione # è detta:

• associativa se (a # b) # c = a # (b # c), per ogni a, b, c appartenenti ad A;

• commutativa se a # b = b # a, per ogni a, b appartenenti ad A;

• dotata di elemento neutro se esiste un elemento e di A tale che a # e = e # a = a, per ogni a appartenente ad A;

• invertibile se è dotata di elemento neutro e se, per ogni a appartenente ad A, esiste un elemento i (a) appartenente ad A (detto inverso di a) tale che a # i (a) = i (a) # a = e.

Se # è associativa, allora il gruppoide (A, #) è detto → semigruppo; se # è associativa e dotata di elemento neutro allora (A, #) è detto → monoide; se # è associativa, dotata di elemento neutro e invertibile, allora (A, #) è detto → gruppo. Ognuna di queste strutture algebriche arricchisce ed estende la precedente: ogni semigruppo è in particolare un gruppoide, ogni monoide è in particolare un semigruppo, ogni gruppo è in particolare un monoide. Un semigruppo (rispettivamente, un monoide, un gruppo) (A, #) è detto commutativo (o abeliano) se # è commutativa. L’insieme dei numeri interi dotato dell’usuale operazione di addizione (+) è per esempio dotato di tutte le proprietà sopra elencate: (Z, +) è dunque un gruppo abeliano.

Se su un gruppoide (A, #) è definita una seconda operazione binaria interna ∗: A × A → A, allora ∗ è detta distributiva rispetto a # se valgono le due seguenti proprietà, dove a, b e c indicano tre arbitrari elementi di A:

• a ∗ (b # c) = (a ∗ b) # (b ∗ c)

(distributività a sinistra)

• (a # b) ∗ c = (a ∗ c) # (b ∗ c)

(distributività a destra)

Se su un insieme A sono definite due distinte strutture algebriche di gruppoide (A, #) e (A, ∗), per due opportune operazioni binarie interne #: A × A → A e ∗: A × A → A, allora le due strutture sono dette compatibili se ∗ è distributiva rispetto a # (o se viceversa # è distributiva rispetto a ∗). Una terna (A, #, ∗), dove A è un insieme e dove # e ∗ sono due operazioni binarie interne su di esso, con #: A × A → A e ∗: A × A → A, è detta → anello se (A, #) è un gruppo commutativo, (A, ∗) è un semigruppo e le due strutture sono compatibili nel senso che ∗ è distributiva rispetto a #. L’insieme dei numeri interi dotato delle usuali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (⋅) gode di tutte queste proprietà: (Z, +, ⋅) è dunque un anello. Altri esempi di anelli commutativi nascono in relazione alle → aritmetiche modulari, considerando gli insiemi → Z_n delle classi resto modulo un intero n, i quali ereditano naturalmente una struttura di anello da Z.

In analogia al caso numerico, si usa spesso indicare le due operazioni di un anello rispettivamente con i simboli + e ⋅; esse sono dette rispettivamente addizione e moltiplicazione dell’anello. Se 0 indica l’elemento neutro dell’addizione di un anello (A, +, ⋅), allora esso è elemento assorbente della moltiplicazione: ciò vuol dire che, per ogni a appartenente ad A, vale 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0. Segue in particolare che in un anello (A, +, ⋅) non è mai possibile che l’operazione ⋅ ammetta elemento neutro, vale a dire la coppia (A, ⋅) non è mai un monoide; tuttavia è possibile che lo sia la coppia (A₀, ⋅), dove A₀ indica il sostegno A privato dell’elemento neutro dell’addizione: A₀ = A{0}. Un anello (A, +, ⋅) è detto anello unitario se (A₀, ⋅) è un monoide; è detto → corpo se (A₀, ⋅) è un gruppo. Se infine ∗ è un’operazione commutativa, allora (A, #, ∗) è detto anello commutativo (rispettivamente: anello commutativo unitario, corpo commutativo); un corpo commutativo è detto più spesso → campo. L’insieme dei numeri reali dotato delle usuali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (⋅) gode di tutte queste proprietà: (R, +, ⋅) è dunque un campo.

Se (K, +, ⋅) è un campo fissato e se su un gruppo (V, #) è definita un’operazione binaria esterna ∘: K × V → V, allora la terna (V, #, ∘) è detta → spazio vettoriale (o spazio lineare) su K se sono soddisfatti i seguenti assiomi, dove 1 indica l’elemento neutro di K:

a) α ∘ (β ∘ a) = (α ⋅ β) ∘ a, per ogni α, β ∈ K, per ogni a ∈ V;

b) 1 ∘ a = a, per ogni a ∈ V;

c) (α + β) ∘ a = (α ∘ a) # (α ∘ b), per ogni α, β ∈ K, per ogni a ∈ V;

d) α ∘ (a # b) = (α ∘ a) # (α ∘ b), per ogni α ∈ K, per ogni a, b ∈ V.

In generale, con un piccolo abuso di notazione, sono indicati con lo stesso simbolo + le operazioni di addizione in K e in V, mentre i simboli delle operazioni di moltiplicazione in K e di prodotto esterno in V sono solitamente omesse.

Una struttura algebrica simile a quella di spazio vettoriale si ha se si considera, invece di un campo (K, +, ⋅), un anello (A, +, ⋅): un → modulo sopra A è una terna (M, #, ∘), dove (M, #) è un gruppo abeliano e dove è definita un’operazione binaria esterna ∘: A × M → M che soddisfa le proprietà formali a), b), c), d) sopra elencate. Se A è un anello unitario, allora si richiede in aggiunta che sia soddisfatta anche la proprietà b).

Uno spazio vettoriale (A, +, ⋅) su un campo K dotato di un’operazione binaria interna ◊: A × A → A è detto un’→ algebra su K se l’operazione ◊ è bilineare, vale a dire se valgono le due seguenti proprietà (che in particolare implicano la distributività di ◊ rispetto a +):

• a ◊ (α ∘ b + β ∘ c) = α ∘ (a ◊ b) + β ∘ (a ◊ c)

(linearità a sinistra)

• (α ∘ a + β ∘ b) ◊ c = α ∘ (a ◊ c) + β ∘ (b ◊ c)

(linearità a destra)

dove a, b e c sono arbitrari elementi di A e dove α e β sono arbitrari elementi di K. Se l’operazione ◊ è associativa, allora A è detta un’algebra associativa, se ◊ ammette elemento neutro, allora A è detta un’algebra unitaria, se ◊ è commutativa, allora A è detta un’algebra commutativa, se ◊ è invertibile, allora A è detta un’algebra di divisione.

Strutture algebriche assai importanti per le loro applicazioni nella scienza degli elaboratori elettronici sono quelle di reticolo e di algebra booleana. Un → reticolo è una terna (R, ∧, ∨) dove R è un insieme non vuoto e dove ∧ e ∨ sono due operazioni binarie interne associative e commutative rispetto alle quali ogni elemento a di R è → idempotente (vale a dire a ∧ a = a ∨ a = a) e legate dalle seguenti leggi di assorbimento

• a ∧ (a ∨ b) = a

• a ∨ (a ∧ b) = a

Un reticolo è un esempio di struttura doppia: oltre a essere dotato di una struttura algebrica, esso è dotato anche di una → struttura d’ordine; tali strutture risultano inoltre essere equivalenti, nel senso che, a partire da una qualsiasi di esse, è possibile definire anche l’altra. Un reticolo (R, ∧, ∨) è detto un’algebra booleana se ∧ e ∨ sono distributive l’una rispetto all’altra e se in aggiunta R è dotato di un’operazione unaria ¬ che gode di proprietà analoghe a quelle soddisfatte dall’operazione di complementazione in teoria degli insiemi.

Uno strumento fondamentale nella classificazione delle strutture algebriche di uno stesso tipo sono gli → omomorfismi, e, più in particolare, gli → isomorfismi: un omomorfismo tra due insiemi A e B dotati di una stessa struttura algebrica è un’applicazione φ: A → B che ne conserva le operazioni; un isomorfismo è un omomorfismo invertibile. Con un leggero abuso di linguaggio, due insiemi dotati di una rispettiva struttura algebrica sono detti avere la stessa struttura algebrica se le due strutture algebriche sono isomorfe.