struttura topologica
struttura topologica
struttura topologica o, più semplicemente, topologia τ, su un insieme S, famiglia F di sottoinsiemi, detti aperti, che soddisfano le seguenti condizioni:
• l’insieme vuoto ∅ e lo spazio S appartengono a F;
• l’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto;
• l’unione arbitraria di aperti è un aperto.
Per specificare che S è dotato della struttura topologica τ si scrive (S, τ) (→ spazio topologico).
Una base di aperti è una famiglia G ⊂ F tale che ogni aperto di F possa essere ottenuto come unione di elementi di G. Per esempio, una base di aperti nella usuale topologia di R è formata dagli intervalli aperti; in Rn dalle palle aperte. Ogni spazio metrico è anche topologico (una base è costituita ancora dalle palle B(x, ρ) = {y : d(x, y) < ρ}); viceversa, uno spazio topologico è detto metrizzabile se la sua topologia può essere indotta da una metrica.
Il complementare di un aperto è detto chiuso. Un intorno di un elemento x ∈ S è un insieme U tale che esista un aperto A per cui x ∈ A ⊂ U. Dalla nozione di intorno seguono quelle di punto di accumulazione, punto di frontiera, e quella di limite. Uno spazio (vettoriale) topologico si dice separabile se possiede un sottoinsieme numerabile denso. Per esempio, R è separabile perché Q è numerabile e denso in R.
Una topologia può soddisfare differenti assiomi di separazione, tra i quali il più importante è indicato con T2: S è T2 (o separato, o di → Hausdorff) se due punti distinti qualsiasi possiedono intorni disgiunti. Tutti gli spazi metrici sono separati. In uno spazio separato vale il teorema di unicità del limite. Se E ⊂ S, la sua topologia relativa (ereditata da S) è quella che ha come aperti gli insiemi A ∩ S, con A ∈ F.
Se sullo stesso spazio S sono definite due topologie τ1 e τ2 è possibile che gli aperti di una siano anche aperti dell’altra: se F1 ⊂ F2 si dice che la topologia τ2 è più fine della topologia τ1. La topologia più fine di tutte è la topologia discreta, in cui ogni punto (e quindi ogni insieme) è aperto; quella meno fine è la topologia banale, in cui F = {∅, S}. Se una successione ammette limite in una certa topologia, ammette lo stesso limite in tutte le topologie meno fini. Se due topologie sono indotte da due metriche d1 e d2, τ2 è più fine di τ1 se per ogni coppia (x, y) risulta d1(x, y) < d2(x, y).
Per la compatibilità di una struttura topologica con la struttura algebrica di spazio vettoriale si veda → spazio vettoriale topologico.