STRUTTURA

STRUTTURA (fr. structure, système de choses; ingl. structure, lattice; ted. Verband, Dualgruppe)

Con questo nome si intende nella matematica moderna ogni insieme S di elementi di natura astratta, tale che siano soddisfatti i seguenti assiomi: 1) ad ogni coppia a, b di elementi di S corrisponde uno ed un solo elemento ab di S, per modo che, essendo c un terzo elemento qualunque di S, sia: (ab) c = a (bc), ab = ba, aa = a; 2) ad ogni coppia a, b di elementi di S corrisponde uno ed un solo elemento a + b di S, tale che (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, a + a = a; 3) l'uguaglianza ab = a implica l'uguaglianza a + b = b e viceversa.

Insiemi di elementi, che soddisfino alla definizione di struttura s'incontrano molto spesso nelle più svariate teorie della matematica.

In aritmetica, l'insieme degli interi positivi è una struttura se ad ab ed a + b si dà rispettivamente il significato del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo dei due numeri a e b. Nella teoria degli insiemi s'incontra la struttura costituita da tutti gli insiemi di punti di un piano (o di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni), nella quale con ab ed a + b s'indicano rispettivamente l'insieme dei punti che appartengono simultaneamente ad a ed a b e l'insieme dei punti che appartengono ad a oppure a b. Nella geometria proiettiva piana è una struttura l'insieme di elementi costituito dal piano stesso, dai punti e dalle rette del piano e dall'insieme vuoto, per la quale ab indica l'elemento comune ad a ed a b (ad es., il punto comune ad a ed a b, se a e b sono due rette distinte) ed a + b indica l'elemento individuato da a e da b, contenente sia a sia b (ad es., la retta determinata da a e da b, se a e b sono due punti distinti). Altri esempî significativi di strutture s'incontrano nella teoria dei gruppi, e più generalmente nell'algebra astratta, nella topologia, nella teoria dei corpi convessi, nella logica matematica, nel calcolo delle probabilità, ecc.

Data la frequenza con la quale esempî di strutture si presentano in tante parti della matematica, risulta senz'altro comprensibile come la teoria delle strutture valga a mettere in evidenza il fondamento comune di molte teorie, permettendo un'unificazione delle loro trattazioni. Per la sua impostazione, basata esclusivamente sui tre assiomi più sopra indicati, la teoria delle strutture rappresenta poi uno degli esempî più significativi dell'indirizzo assiomatico ed astratto, che tende sempre più a dominare nelle matematiche moderne.

Non è qui il caso nemmeno di accennare agli sviluppi della teoria, la quale è oggetto di numerose ricerche, pur rimanendo in essa insolute molte e vitali questioni. Ci si limiterà perciò a dare un cenno dell'origine storica della teoria e di una seconda definizione di struttura, che meglio permette di valutare l'intimo significato della teoria stessa, per concludere citando qualche tipo più particolare di struttura che meglio si presta ad una trattazione più approfondita.

Dal punto di vista storico, un primo esempio di struttura fu incontrato da R. Dedekind nel 1900. Ma di una teoria delle strutture si può parlare appena nel 1928 con i lavori di K. Menger, cui seguirono le ricerche di Fritz Klein in Germania a partire dal 1931, di G. Birkhoff ed O. Ore negli Stati Uniti dal 1933 e di V. Glivenko e varî altri nell'URSS. I rapporti tra la teoria delle strutture e la geometria proiettiva furono approfonditi in ispecie da K. Menger, J. von Neumann e G. Köthe, quelli con la topologia da P. Alexandroff, quelli con la logica simbolica da A. Tarski in Polonia e da G. C. Moisil in Romania.

Alla definizione di struttura più sopra riportata si può dare un altro aspetto, che la rende più significativa.

All'uopo si dica che due elementi a e b di una struttura S sono tali che "a precede b" ovvero che "a è contenuto in b", in simboli: a ⊂ b quando e solo quando sia ab = a ovvero a + b = b.

Una struttura S appare allora come un insieme di elementi astratti, che contiene coppie di elementi, legati dalla relazione a ⊂ b soddisfacente alle condizioni seguenti: 1′) a ⊂ a, da a ⊂ b e b ⊂ a si deduce che a coincide con b, da a ⊂ b e b ⊂ c segue a ⊂ c; 2′) ad ogni coppia a, b di S corrisponde un elemento ab di S tale che ab ⊂ a, ab ⊂ b, da c ⊂ a e c ⊂ b si deduce c ⊂ ab; 3′) ad ogni coppia di elementi a, b di S corrisponde un elemento a + b di S tale che a ⊂ a + b, b ⊂ a + b, da a ⊂ c e b ⊂ c si deduce a + b ⊂ c. Inversamente, è facile provare che ogni insieme S di elementi astratti, per il quale siano soddisfatti i tre assiomi 1′), 2′), 3′), soddisfa gli assiomi 1), 2), 3), riportati all'inizio; d'onde segue che le strutture si possono anche definire mediante gli assiomi 1′), 2′), 3′), che sono equivalenti agli assiomi 1), 2), 3).

Questa seconda definizione di struttura mette in evidenza l'importanza della relazione a ⊂ b, che si può pensare come una relazione tra il tutto ed una sua parte. Gli assiomi della struttura non fanno dunque che teorizzare astrattamente la relazione tra due elementi di essere contenuti l'uno nell'altro. Si capisce perciò come la teoria delle strutture abbia un importante ufficio in tutte le teorie - e sono quasi tutte le teorie matematiche - in cui tale relazione si presenta.

Mediante la relazione a ⊂ b si può dare delle strutture costituite da un numero finito di elementi una comoda immagine grafica, che ha molta importanza in tutte le ricerche teoriche sulle strutture. Così, ad es., la struttura di tre elementi a, b, c, per la quale sia a ⊂ b e b ⊂ c si rappresenta con lo schema: a → b → c.

La struttura a quattro elementi a, b, c, d, per la quale a ⊂ b, b ⊂ d ed a ⊂ c, c ⊂ d si rappresenta invece con lo schema:

La struttura a cinque elementi a, b, c, d, e, per la quale a ⊂ b, b ⊂ c, c ⊂ e e a ⊂ d, d ⊂ e risponde, infine, allo schema:

Da quest'ultima figura appare chiaro, tenuto conto degli assiomi 1′), 2′), 3′), che gli elementi xy ed x + y si determinano, per l'anzidetta struttura a cinque elementi, nel modo indicato dai due prospetti seguenti:

Tra le strutture di tipo particolare, il cui studio è stato più approfondito, giova menzionare le strutture di Dedekind o modulari, per le quali da a ⊂ c si deduce a + bc = (a + b) c; le strutture distribuitive, per le quali è sempre: ac + bc = (a + b) c. Ogni struttura distributiva è una struttura di Dedekind. Hanno anche assunto importanza le strutture dotate di norma, ossia le strutture per ciascun elemento a delle quali è definito un numero ∣ a ∣ non negativo (la norma di a), tale che da a ⊂ b e a ??? b si deduce ∣ a ∣ 〈 ∣ b ∣ mentre è sempre:

Bibl.: V. Glivenko, Théorie générale des structures, Parigi 1938; H. Hermes e G. Köthe, Theorie der Verbände, in Enzykl. der math. Wissensch., I, Lipsia e Berlino 1939; G. Birkhoff, Lattice theory, New York 1940.