successione numerica

successione numerica

Legge che a ogni intero positivo n≥1 fa corrispondere un numero a_n. Il termine a_n è chiamato n-esimo termine della successione. Quest’ultima è identificata generalmente con la famiglia dei suoi infiniti termini, {a_n}, n≥1. Si può pensare a una s. come a una funzione definita sull’insieme dei numeri naturali, N. Esempi di s. sono {a_n}={1,1,1,..,} che è costante per ogni n, e {a_n}={2ⁿ⁻¹}={1,2,4,8,16,...}, n≥1. Anche un vettore di dimensione finita, v=(v₁,...,v_k)′, può essere visto come una particolare s., {a_n}={v₁,...v_k,0,0,...}, i cui termini sono tutti nulli da un certo punto in poi. ● Una s. si dice crescente (non decrescente) se ogni termine è maggiore (maggiore o uguale) del precedente, e decrescente (non crescente) se ciascun termine è minore (minore o uguale) del precedente. Si dice che la s. {a_n} converge ad a se il limite lim_n→∞a_n esiste ed è uguale ad a. La s. si dice divergente se il limite è infinito (a=+∞ o a=−∞) e si dice indeterminata se tale limite non esiste. Una s. monotona (crescente, non decrescente, decrescente, non crescente o costante) non è mai indeterminata. ● Una s. si dice convergente secondo Cauchy se la distanza tra due termini arbitrari della s. ∣ a_n−a_m∣ ha limite zero quando m, n tendono a infinito. Se una s. è convergente lo è anche nel senso di Cauchy. Esempi di s. convergenti sono: la s. costante {a_n}={1,1,1,...}, che converge a 1; la s. {a_n}={2⁻ⁿ}={1/2,1/4,1/8,1/16,...}, che converge a zero, essendo lim_n→∞a_n=0; la s., {a_n}={(1+1/n)ⁿ}={2,2.25,2.370,...}, che ha limite uguale a e=2,7182....

S. divergenti sono {a_n}={2ⁿ⁻¹}={1,2,4,8,16,...}, che tende a +∞, e {a_n}={−n}, che tende a −∞. La s. {a_n}={(−1)ⁿ⁻¹}= {1,−1,1,−1,1,...}, è, invece, indeterminata.