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successione numerica

Enciclopedia della Matematica (2013)
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successione numerica


successione numerica successione {an}, i cui termini sono numeri reali o complessi. Una successione si dice monotòna crescente (decrescente) se per ogni n è an ≤ an+1 (an ≥ an+1). Per una data successione {an}, si considera il limite

formula

se esso esiste finito si dice che la successione è convergente, se è infinito che è divergente, se non esiste che è indeterminata (o anche che è irregolare; nel caso reale, si usa anche il termine oscillante). Una successione numerica reale è detta limitata se esiste M > 0 tale che

formula

Una condizione necessaria e sufficiente affinché una successione in R o in C sia convergente è che sia una successione di → Cauchy; tale condizione, assai importante, è tuttavia sostituita nelle applicazioni da particolari condizioni sufficienti, dette criteri di convergenza: per esempio in R una successione monotòna ammette sempre limite, che è finito se (e solo se) la successione è limitata. Per il teorema di → Bolzano-Weierstrass da una successione limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Un esempio di successione monotòna è dato dalla successione esponenziale di base a (maggiore di 0 e diverso da 1): se a > 1 la successione {expa(n)} è monotòna crescente e per n tendente a +∞ il suo termine n-esimo tende a +∞ e la successione è divergente; se a < 1, la successione è monotòna decrescente ed è limitata inferiormente dal valore 0; la successione è convergente a 0.

Una successione in cui ciascun termine, escluso il primo o i primi, è ottenibile dal precedente (o dai precedenti) attraverso una formula che si ripete a ciascun passo si dice ottenuta (o definita) per ricorrenza. Per esempio, la successione di → Fibonacci {ƒn} è così definita per ricorrenza: ƒ0 = 1; ƒ1 = 1; ƒn = ƒn−1 + ƒn−2. Una successione ottenuta per ricorrenza dalla formula xn+1 = φ(xn), con φ: [a, b] → [a, b] di classe C 1 e max|φ′(x)| < 1, converge alla soluzione dell’equazione x = φ(x) (teorema delle contrazioni: → Banach-Caccioppoli, teorema di). Per esempio, le successioni definite da

formula

o da

formula

dove x0 = 1, convergono per n → ∞ al → numero aureo Φ, soluzione dell’equazione

formula

si hanno cioè gli sviluppi

formula

il secondo dei quali rappresenta una frazione continua.

L’insieme s = {x : x = {xi}i∈N} di tutte le successioni costituisce uno spazio vettoriale, in cui si può introdurre una metrica ma non una norma. Il sottospazio delle successioni limitate, dotato della norma dell’estremo superiore, ∥x∥ = sup |xi|, è uno spazio di → Banach indicato con l ∞.

Vedi anche
numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ...
Tag
  • CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE
  • TEOREMA DI → BOLZANO-WEIERSTRASS
  • NORMA DELL’ESTREMO SUPERIORE
  • SUCCESSIONE DI → FIBONACCI
  • SUCCESSIONE DI → CAUCHY
Altri risultati per successione numerica
  • successione numerica
    Dizionario di Economia e Finanza (2012)
    Legge che a ogni intero positivo n≥1 fa corrispondere un numero an. Il termine an è chiamato n-esimo termine della successione. Quest’ultima è identificata generalmente con la famiglia dei suoi infiniti termini, {an}, n≥1. Si può pensare a una s. come a una funzione definita sull’insieme dei numeri ...
Vocabolario
numerato
numerato agg. [part. pass. di numerare]. – 1. Segnato, contraddistinto con un numero progressivo, al fine di stabilire la successione ordinata o anche la quantità numerica complessiva: un blocchetto di biglietti n.; pagine non n., quelle,...
successióne
successione successióne s. f. [dal lat. successio -onis, der. di succedĕre «succedere»]. – 1. Il succedere ad altri, cioè il subentrare, il prendere il posto di un altro in una carica, in un ufficio, in un titolo, nella proprietà di un...
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