successione

successione

successione funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme). La variabile indipendente n viene usualmente evidenziata in forma di indice (pedice), preferendosi quindi la scrittura a_n (si legga «a con n») a quella a(n) tipica delle funzioni reali; i suoi valori sono detti termini della successione. La successione è poi descritta ponendo il generico termine n-esimo, indicato appunto con a_n, tra parentesi graffe: {a_n}. Quando opportuno, per distinguere la successione dall’insieme formato dal solo elemento a_n, si specifica il dominio scrivendo

La restrizione di una successione a un sottoinsieme (non finito) di N viene detta sottosuccessione (estratta dalla successione data). Per esempio, se a_n = (−1)ⁿ, restringendo la successione {(−1)ⁿ} agli esponenti n dispari si ottiene la sottosuccessione costante {−1}.

Il codominio può essere R o C, nel qual caso si parla di → successione numerica (a questo caso si riconducono le successioni di vettori in Rⁿ o Cⁿ), oppure uno spazio funzionale per le → successioni di funzioni, ma può anche essere più generale (successione di matrici, di operatori, di figure piane, di insiemi).

Per successioni a valori in uno spazio vettoriale, e quindi in particolare in R, vi è una corrispondenza tra successioni e → serie, potendosi associare a una serie la successione delle sue somme parziali, e viceversa potendo vedere una successione qualsiasi {s_n} come successione delle somme parziali della serie di termine generale a_n = s_n − s_n−1 (con a₀ = s₀). Se il codominio è uno spazio metrico, o più generalmente uno spazio topologico, ha senso la nozione di limite della successione. Si intende che il limite è considerato per n → +∞, unico punto di accumulazione di N. Per esempio, dire che in uno spazio normato X la successione {x_n}_n∈N ammette limite x (o, equivalentemente, che converge a x) significa che ∀ε > 0 esiste un indice n̄ = n̄ (ε) tale che ∀n > n̄ risulta ∥x_n – x∥ < ε.

Estensioni della nozione di successione sono le successioni bilatere,

le successioni multiple (a_n1 _n2..._nN), definite, rispettivamente, nell’insieme dei numeri interi e nell’insieme delle N-uple ordinate dei numeri naturali, le successioni di → Moore-Smith, aventi per dominio un insieme diretto.

Sovente una successione è utilizzata come metodo di approssimazione della soluzione di un problema: tipico è il caso delle successioni per ricorrenza, ottenute applicando ripetutamente la formula x_n+1 = φ(x_n), a partire da un termine iniziale x₀ scelto opportunamente (→ successione numerica; → successione di funzioni).