successore

successore

successore di un elemento qualsiasi x di un insieme totalmente ordinato X (>), è l’elemento x′ ∈ X che è maggiore di x nell’ordinamento totale dell’insieme e tale che non vi siano altri elementi compresi tra x e x′. Nel caso di N ordinato secondo l’ordinamento naturale, il successore di n è il minimo numero naturale maggiore di n. Nella teoria assiomatica dei numeri (→ Peano, assiomi di) il concetto di successore viene utilizzato per generare, a partire dallo 0, tutti i numeri naturali. Nell’insieme N il passaggio al successore di un numero dato definisce una funzione N → N (funzione aritmetica) detta funzione successore e indicata con s(n); si ha: s(n) = n + 1. La funzione successore è una delle → funzioni ricorsive di base a partire dalle quali è possibile costruire tutte le funzioni ricorsive primitive. Per esempio, la funzione addizione (Add) è una funzione ricorsiva primitiva che può essere definita, facendo uso della funzione successore e dello schema di ricorsione, nel modo seguente:

Nella teoria dei numeri ordinali si definisce successore di un numero ordinale α l’insieme unione di α e dell’insieme {α} che ha come unico elemento α; si ha quindi che s(α) = α ∪ {α}. Utilizzando tale definizione e partendo dall’assunto secondo cui il primo ordinale, indicato con 0, coincide con l’insieme vuoto si possono definire gli altri ordinali (indicati per semplicità con 1, 2, 3, ...) (→ numero ordinale).

Esistono tuttavia degli ordinali che non sono successori di nessun numero ordinale; essi vengono detti ordinali limite.