Maclaurin, seriediMaclaurin, seriedi caso particolare della seriedi → Taylor, in cui il centro è nell’origine. La sua importanza consiste nel fatto che, per la sua semplicità strutturale, le più [...] generico possono infatti essere ridotte a opportune seriediMaclaurin e, quindi, non necessitano del calcolo di derivate per la determinazione dei loro coefficienti. Per esempio, se si desidera la seriedi Taylor di ln(3 + 2x) nell’intorno del punto ...
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serie binomiale
serie binomiale sviluppo in seriedi → Maclaurin della funzione
formula
dove
è il → coefficiente binomiale generalizzato ad α reale qualsiasi. La serie si riduce a un polinomio nel [...] caso α ∈ N, in quanto tutti i coefficienti con n > α si annullano. Ha raggio di convergenza R = 1; sulla circonferenza di convergenza la serie converge assolutamente per α ≥ 0, semplicemente per −1 < α < 0, tranne che per z = −1 dove diverge ...
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convergenza, intervallo di
convergenza, intervallo di per una seriedi potenze nel campo reale, è l’intersezione con l’asse reale del suo cerchio di convergenza nel piano complesso.
Per esempio, la serie
converge [...] classe C ∞(R), e che nulla nel suo grafico pare impedire la convergenza del suo sviluppo diMaclaurin al di fuori dell’intervallo (−1, 1) (→ Maclaurin, seriedi). Considerando invece la funzione
si nota che essa presenta due poli nei punti z = ±i ...
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matrici, seriedi
matrici, seriedi estensione delle seriedi → Maclaurin (e di → Taylor) da variabili complesse a matrici. Si consideri per esempio la serie esponenziale
e al posto della variabile [...] del secondo ordine y″ + A2y = 0. Si possono anche definire seriedi matrici a partire da seriedi potenze con raggio di convergenza R < +∞; in tal caso però la convergenza della seriedi matrici è subordinata alla condizione che una norma della ...
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Successione ordinata e continua di elementi, concreti e astratti, dello stesso genere.
Ecologia
Successione delle comunità che si sostituiscono l’una all’altra in una regione. Le comunità di transizione [...] proprietà che la somma dei suoi primi k termini rappresenta la funzione data f(x) con un errore dell’ordine di x−k.
Serie binomiale
È lo sviluppo in s. diMaclaurin della funzione (1+x)n, con x reale o complesso, n reale ≠0. Si ha (1+x)n= ∑∞k=0 ...
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serieserie successione che consente di generalizzare la nozione di somma al caso di un numero infinito di addendi. Tali addendi possono essere numeri (→ serie numerica) o funzioni (→ seriedi funzioni), [...] le studiarono: la seriedi → Dirichlet, la seriedi → Fourier, la seriedi → Laurent, la seriedi → Maclaurin, da cui si ricava la seriedi → Gregory-Leibniz, la seriedi → Mercatore, la seriedi → Taylor).
Formalmente una serie può essere definita ...
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Maclaurin, polinomio diMaclaurin, polinomio di caso particolare del polinomio di → Taylor, in cui il centro è l’origine. Il polinomio diMaclaurindi ordine n per una funzione ƒ(x) definita in un intorno [...] 0 e ivi derivabile almeno n volte è quindi:
Esso approssima la funzione con un errore (o resto), genericamente indicato con Rn(x), che esprime la differenza tra la funzione sviluppata in seriediMaclaurin e il polinomio stesso (→ Lagrange, resto ...
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serie ciclometrica
serie ciclometrica serie numerica la cui espressione è
formula
La serie è convergente per |x| ≤ 1 (con x ∈ R). Nel caso complesso è convergente per |x| < 1. Tale serie esprime lo [...] sviluppo in seriedi → Maclaurin della funzione arcotangente, arctanx, e può essere utile per il calcolo approssimato di π; infatti, ponendo x = 1, essendo arctan(1) = π/4, si ha:
formula
Tuttavia il calcolo di una buona approssimazione di π con ...
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