Hilbert, teorema degli zeri di
Hilbert, teorema degli zeri di
Hilbert, teorema degli zeri di o Hilbertscher Nullstellensatz, teorema di algebra commutativa, punto di partenza della geometria algebrica, che stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi algebrici dello spazio affine An(K) (dove K è un campo algebricamente chiuso) e una particolare classe di ideali dell’anello dei polinomi K [x1, …, xn] a n indeterminate e a coefficienti in K. La corrispondenza è quella che associa a ogni ideale I di K [x1, …, xn] l’insieme algebrico V(I) ⊆ An(K) definito dall’annullamento di tutti gli elementi di I; nell’altro verso, la corrispondenza associa a ogni insieme algebrico Z ⊆ An(K) l’ideale ℑ(Z) ⊆ K [x1, …, xn] costituito dai polinomi che si annullano su Z. Mentre V(ℑ(Z)) = Z, è falso il viceversa: ℑ(V(I)) coincide infatti con Rad(I), l’ideale radicale di I. D’altra parte, un ideale e il suo ideale radicale definiscono sempre lo stesso insieme algebrico, vale a dire V(I) = V(Rad(I)); pertanto, se ci si restringe a considerare gli ideali radicali, il teorema degli zeri di Hilbert stabilisce una corrispondenza biunivoca (che inverte le inclusioni) tra gli insiemi algebrici di An(K) e gli ideali radicali di K [x1, …, xn]. Secondo tale corrispondenza, i punti di An(K) corrispondono agli ideali massimali di K [x1, …, xn].